Definitionsb. + Bildungsgesetz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt: [mm] \bruch{3x+1}{x-2}=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}? [/mm] Geben Sie das Bildungsgesetz für die [mm] a_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN_{0}, [/mm] an. |
Hallo,
Beim Bildungsgesetz tu ich mir schwer. Ich versuchs mal:
[mm] \bruch{3x+1}{x-2}=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{3x+1}{x-2}
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{3x+1}{x(x-2)}
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{3x+1}{x^{2}(x-2)}
[/mm]
[mm] a_{3}=\bruch{3x+1}{x^{3}(x-2)}
[/mm]
(...)
Hier fällt auf, dass der Nenner immer größer wird. Demnach wäre [mm] q=\bruch{1}{x}. [/mm] Definitionsbereich wäre dann |x|>1.
Aber ich bin mir überhaupt nicht sicher. Ich brauche einen Tip, ob ich auf dem richtigen Dampfer bin.
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]\bruch{3x+1}{x-2}=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}?[/mm] Geben
> Sie das Bildungsgesetz für die [mm]a_{n},[/mm] n [mm]\in \IN_{0},[/mm] an.
>
>
> Hallo,
>
> Beim Bildungsgesetz tu ich mir schwer. Ich versuchs mal:
>
> [mm]\bruch{3x+1}{x-2}=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{3x+1}{x-2}[/mm]
>
> [mm]a_{1}=\bruch{3x+1}{x(x-2)}[/mm]
>
> [mm]a_{2}=\bruch{3x+1}{x^{2}(x-2)}[/mm]
>
> [mm]a_{3}=\bruch{3x+1}{x^{3}(x-2)}[/mm]
>
> (...)
Das ist Quark!
>
> Hier fällt auf, dass der Nenner immer größer wird.
> Demnach wäre [mm]q=\bruch{1}{x}.[/mm] Definitionsbereich wäre dann
> |x|>1.
>
> Aber ich bin mir überhaupt nicht sicher. Ich brauche einen
> Tip, ob ich auf dem richtigen Dampfer bin.
Nein, eher nicht. Es soll [mm]\frac{3x+1}{x-2}[/mm] der Reihenwert der Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}a_nx^n[/mm] sein mit zu bestimmendem [mm]a_n[/mm]
Schreibe mal [mm]\frac{3x+1}{x-2}=-\frac{3x+1}{2}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}[/mm]
Der Faktor [mm]\frac{1}{1-\frac{x}{2}}[/mm] ist für [mm]|x|<2[/mm] genau die geometr. Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}\left(\frac{x}{2}\right)^n[/mm]
Allerdings komme ich im Weiteren nicht so richtig auf eine geschlossene Form [mm]\sum\limits_{n\ge 0}a_nx^n[/mm]
Aber vllt. hilft dir das schon zum Basteln?!
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>
> Gruß, Andreas
>
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LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
dann war mein anderer Ansatz doch richtig, den ich verworfen hatte:
Ich habe die Polynomdivision durchgeführt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=s=\bruch{3x+1}{x-2}=3-\bruch{1}{14}*\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}}
[/mm]
Konvergenz der unendl. geo. Reihe mit |q|<1, also |x|<2
Aber der Reihenwert...keine Ahnung. Ich kann mit dem [mm] a_{n} [/mm] nichts anfangen, das weiß ich ja nicht. Wie kann man das denn bestimmen?
Gruß, Andreas
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
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> dann war mein anderer Ansatz doch richtig, den ich
> verworfen hatte:
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> Ich habe die Polynomdivision durchgeführt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=s=\bruch{3x+1}{x-2}=3-\bruch{1}{14}*\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}}[/mm]
Der letzte Term stimmt doch nicht ...
Es ist [mm]\frac{3x+1}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}=3-\frac{7}{2}\cdot{}\frac{1}{1-x/2}[/mm]
>
> Konvergenz der unendl. geo. Reihe mit |q|<1, also |x|<2
Jo!
>
> Aber der Reihenwert...keine Ahnung. Ich kann mit dem [mm]a_{n}[/mm]
> nichts anfangen, das weiß ich ja nicht. Wie kann man das
> denn bestimmen?
Na, mit diesen Umformungen ist für [mm]|x|<2[/mm] dann [mm]3-\sum\limits_{n\ge 0}\frac{7}{2}\cdot{}\left(x/2\right)^n=\frac{3x+1}{x-2}[/mm]
Bringe das in der Reihe noch in die gewünschte Form [mm]a_nx^n[/mm] und du hast es ...
>
>
> Gruß, Andreas
>
Gruß
schachuzipus
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> Der letzte Term stimmt doch nicht ...
>
> Es ist
> [mm]\frac{3x+1}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}=3-\frac{7}{2}\cdot{}\frac{1}{1-x/2}[/mm]
>
Sorry, ich hab mich verrechnet.
> Na, mit diesen Umformungen ist für [mm]|x|<2[/mm] dann
> [mm]3-\sum\limits_{n\ge 0}\frac{7}{2}\cdot{}\left(x/2\right)^n=\frac{3x+1}{x-2}[/mm]
>
> Bringe das in der Reihe noch in die gewünschte Form [mm]a_nx^n[/mm]
> und du hast es ...
Hm, meinst du so:
[mm] 3-\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{7}{2^{(1+n)}}x^{n}=\bruch{3x+1}{x-2}
[/mm]
mit [mm] a_{n}=\bruch{7}{2^{(1+n)}}
[/mm]
?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Mo 18.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst noc eine summe daraus machen, dabei musst du [mm] a_0 [/mm] einzeln definieren, ab a-1 dann alle [mm] a_n [/mm] mit einem gesetz.
gruss leduart
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Hallo,
Wie mache ich denn eine Summe daraus bzw. was ist damit gemeint?
Ich habe mir noch diese Definition für [mm] a_{n} [/mm] notiert:
[mm] a_{n}=\begin{cases} -\bruch{1}{2}, & \mbox{für } n=0 \\ \bruch{7}{2^{(1+n)}}, & \mbox{für } n\ge1 \end{cases}
[/mm]
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mo 18.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
damit bist du fertig, wenn du noch das Vorzeichen bei n>1 richtig machst.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke!
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 18.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=954941
FRED
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Hallo FRED,
gut, dass du alles im Visier hast! 
Liebe Grüße!
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke! 
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