Definitionsbereich < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe die Funktion [mm] ln(x^2-2x+2) [/mm] und soll den Definitionsbereich bestimmen.
In ln-Funktionen darf ich keine 0 einsetzen, also muss [mm] x^2-2x+2 [/mm] ungleich 0 sein.
Gibt es eine Möglichkeit, das zu lösen ohne zu kombinieren? Mit pq und gleich Null setzen, hätte ich ja eigentlich genau die Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist, aber ohne Taschenrechner ist die Wurzel nicht so leicht auflösbar.
Habt ihr noch einen anderen Ansatz parat?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 19.01.2009 | | Autor: | djmatey |
> Hallo,
>
Hallo!
> ich habe die Funktion [mm]ln(x^2-2x+2)[/mm] und soll den
> Definitionsbereich bestimmen.
>
> In ln-Funktionen darf ich keine 0 einsetzen, also muss
> [mm]x^2-2x+2[/mm] ungleich 0 sein.
Achtung: Du darfst nicht nur keine Null einsetzen, sondern auch nichts Negatives!
Also überlege dir, für welche x
[mm] x^2 [/mm] - 2x + 2 > 0
gilt.
>
> Gibt es eine Möglichkeit, das zu lösen ohne zu kombinieren?
> Mit pq und gleich Null setzen, hätte ich ja eigentlich
> genau die Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist,
> aber ohne Taschenrechner ist die Wurzel nicht so leicht
> auflösbar.
Taschenrechner...?
Wende einfach die p-q-Formel an! Du solltest dann sehen, dass
[mm] x^2-2x+2 [/mm]
keine Nullstellen besitzt, also komplett oberhalb der x-Achse verläuft (kann man sehen, wenn man ein beliebiges x einsetzt).
Was bedeutet das für den Def.-Bereich der ln-Funktion?
>
> Habt ihr noch einen anderen Ansatz parat?
LG djmatey
|
|
|
| |
|
> Wende einfach die p-q-Formel an! Du solltest dann sehen,
> dass
> [mm]x^2-2x+2[/mm]
> keine Nullstellen besitzt, also komplett oberhalb der
> x-Achse verläuft (kann man sehen, wenn man ein beliebiges x
> einsetzt).
> Was bedeutet das für den Def.-Bereich der ln-Funktion?
>
Dass ich komplett alle Zahlen aus den reellen einsetzen kann?
|
|
|
| |
|
Hallo Englein,
>
> > Wende einfach die p-q-Formel an! Du solltest dann sehen,
> > dass
> > [mm]x^2-2x+2[/mm]
> > keine Nullstellen besitzt, also komplett oberhalb der
> > x-Achse verläuft (kann man sehen, wenn man ein beliebiges x
> > einsetzt).
> > Was bedeutet das für den Def.-Bereich der ln-Funktion?
> >
> Dass ich komplett alle Zahlen aus den reellen einsetzen
> kann?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja, [mm] $\mathbb{D}_f=\IR$, [/mm] wobei [mm] $f(x)=\ln(x^2-2x+2)$ [/mm] ist
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Okay.
Aber nun habe ich einen Bruch mit dem Nenner:
[mm] x^2-2x+2
[/mm]
Der darf ja für den Definitionsbereich nicht 0 werden. Ich kann nun also pq anwenden, aber dann bekomme ich eine negative Wurzel, das geht ja nicht.
[mm] 1+/-\wurzel{1^2-2}
[/mm]
Tipps?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Wenn diese (nach oben geöffnete) Parabel [mm] $x^2-2x+2$ [/mm] keine Nullstellen hat: alles prima!
Denn dann liegt der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse und es gibt nur positive Werte.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Also ist der Definitionsbereich auch hier wieder R?
Denn wenn ich nun die 2. Aleitung von [mm] \bruch{2x-2}{x^2-2x+2} [/mm] bilde bekomme ich:
[mm] \bruch{-2x^2+4x}{(x^2-2x+2)^2} [/mm] Und der Definitionsbereich müsste auch hier wieder R sein.
Nächste Aufgabe: Krümmungsverhalten, also wann ist die 2. Ableitung größer bzw kleiner 0.
Hier habe ich dann wieder ein Problem.
für f''(x) > 0 muss ich ja [mm] -2x^2+4x [/mm] >0 haben (aber ich kriege kein konkretes Ergebnis)
für f''(x)<0 muss ich ja [mm] -2x^2+4x [/mm] <0 haben (aber auch hier weiß ich keine Lösungsmöglichkeit für ein konkretes Ergebnis).
Denn hinterher muss ich noch Wendepunkte bestimmen, es könnte ja sein, dass die Ergebnisse mir hier einen ANhaltspunkt liefern?
|
|
|
| |
|
Hallo Englein,
> Also ist der Definitionsbereich auch hier wieder R?
>
> Denn wenn ich nun die 2. Aleitung von
> [mm]\bruch{2x-2}{x^2-2x+2}[/mm] bilde bekomme ich:
>
> [mm]\bruch{-2x^2+4x}{(x^2-2x+2)^2}[/mm]
 Das ist mal erst die 1.Ableitung
> Und der Definitionsbereich müsste auch hier wieder R sein.
>
> Nächste Aufgabe: Krümmungsverhalten, also wann ist die 2.
> Ableitung größer bzw kleiner 0.
>
>
> Hier habe ich dann wieder ein Problem.
>
> für f''(x) > 0 muss ich ja [mm]-2x^2+4x[/mm] >0 haben (aber ich
> kriege kein konkretes Ergebnis)
>
> für f''(x)<0 muss ich ja [mm]-2x^2+4x[/mm] <0 haben (aber auch hier
> weiß ich keine Lösungsmöglichkeit für ein konkretes
> Ergebnis).
Erstmal die 2.Ableitung berechnen, dann möglichst den Zähler faktorisieren, der Nenner bleibt >0 für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Dann bedenke, dass ein Produkt [mm] $a\cdot{}b>0$ [/mm] ist, wenn beide Faktoren >0 oder beide Faktoren <0 sind ...
Genauso ist ein Produkt [mm] $a\cdot{}b<0$, [/mm] wenn einer der Faktoren <0, der andere >0 ist (und umgekehrt)
>
> Denn hinterher muss ich noch Wendepunkte bestimmen, es
> könnte ja sein, dass die Ergebnisse mir hier einen
> ANhaltspunkt liefern?
Hier noch nicht, es fehlt, wie gesagt, noch die 2.Ableitung
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Entschuldigung, ich hätte sagen sollen, dass das bereits die zweite Ableitung war.
Nun habe ich ja:
f''(x)>0 für [mm] -2x^2+4x>0
[/mm]
f''(x)<0 für [mm] -2x^2+4x<0
[/mm]
Wie gehe ich das nun am geschicktesten an? Was du mir geraten hast gilt doch nur für Produkte, oder? Aber ich habe doch hier eine Summe.
Meine Lösung wäre:
zu 1) x<2
zu 2) x>2, ist das richtig?
Kann ich eigentlich nun sagen, dass bei x=2 ein Wendepunkt vorliegen muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung, ich hätte sagen sollen, dass das bereits
> die zweite Ableitung war.
>
> Nun habe ich ja:
>
> f''(x)>0 für [mm]-2x^2+4x>0[/mm]
> f''(x)<0 für [mm]-2x^2+4x<0[/mm]
>
> Wie gehe ich das nun am geschicktesten an? Was du mir
> geraten hast gilt doch nur für Produkte, oder? Aber ich
> habe doch hier eine Summe.
[mm] -2x^2+4x>0 \gdw [/mm] x(4-2x) >0 [mm] \gdw [/mm] (x>0 und x<2) [mm] \gdw [/mm] 0<x<2
Mit [mm] -2x^2+4x<0 [/mm] verfährst Du analog
FRED
>
> Meine Lösung wäre:
>
> zu 1) x<2
> zu 2) x>2, ist das richtig?
Nein, siehe oben.
>
> Kann ich eigentlich nun sagen, dass bei x=2 ein Wendepunkt
> vorliegen muss?
|
|
|
| |
|
Dann habe ich doch:
f''(x)>0 für 0<x<2
f''(x)<0 für 0>x>2 (x<0 und x>2)
Ich steh auf dem Schlauch. Das scheint falsch und beim Wendepunkt hilft mir das ja auch nicht. x=0 und x=2 wären ja dann meine Kandidaten, aber woran erkenne ich nun, ob das richtig ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Dann habe ich doch:
>
> f''(x)>0 für 0<x<2
> f''(x)<0 für 0>x>2 (x<0 und x>2)
Das ist nicht richtig !
f''(x)<0 [mm] \gdw [/mm] x>2
FRED
>
> Ich steh auf dem Schlauch. Das scheint falsch und beim
> Wendepunkt hilft mir das ja auch nicht. x=0 und x=2 wären
> ja dann meine Kandidaten, aber woran erkenne ich nun, ob
> das richtig ist?
|
|
|
| |
|
Hallo fred97,
> > Dann habe ich doch:
> >
> > f''(x)>0 für 0<x<2
>
>
>
> > f''(x)<0 für 0>x>2 (x<0 und x>2)
>
> Das ist nicht richtig !
>
> f''(x)<0 [mm]\gdw[/mm] x>2
Das ist nur die halbe Wahrheit:
[mm]f''\left(x\right)<0 \gdw 2x*\left(2-x\right) < 0[/mm]
Daraus ergeben sich 2 Fälle:
i) [mm]2x<0 \wedge 2-x>0 \gdw x<0 \wedge x<2 \gdw \blue{x < 0}[/mm]
ii) [mm]2x>0 \wedge 2-x<0 \gdw x>0 \wedge x>2 \gdw \blue{x > 2}[/mm]
Wenn hier
[mm]x<0 \operatorname{und} x>2[/mm]
und durch ein [mm]\operatorname{oder}[/mm] ausgetauscht wird,
dann stimmt das, was Englein geschrieben hat.
>
> FRED
>
> >
> > Ich steh auf dem Schlauch. Das scheint falsch und beim
> > Wendepunkt hilft mir das ja auch nicht. x=0 und x=2 wären
> > ja dann meine Kandidaten, aber woran erkenne ich nun, ob
> > das richtig ist?
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> > > Dann habe ich doch:
> > >
> > > f''(x)>0 für 0<x<2
> >
> >
> >
> > > f''(x)<0 für 0>x>2 (x<0 und x>2)
> >
> > Das ist nicht richtig !
> >
> > f''(x)<0 [mm]\gdw[/mm] x>2
>
>
> Das ist nur die halbe Wahrheit:
>
> [mm]f''\left(x\right)<0 \gdw 2x*\left(2-x\right) < 0[/mm]
>
> Daraus ergeben sich 2 Fälle:
>
> i) [mm]2x<0 \wedge 2-x>0 \gdw x<0 \wedge x<2 \gdw \blue{x < 0}[/mm]
>
> ii) [mm]2x>0 \wedge 2-x<0 \gdw x>0 \wedge x>2 \gdw \blue{x > 2}[/mm]
>
> Wenn hier
>
> [mm]x<0 \operatorname{und} x>2[/mm]
>
> und durch ein [mm]\operatorname{oder}[/mm] ausgetauscht wird,
> dann stimmt das, was Englein geschrieben hat.
>
>
> >
> > FRED
> >
> > >
> > > Ich steh auf dem Schlauch. Das scheint falsch und beim
> > > Wendepunkt hilft mir das ja auch nicht. x=0 und x=2 wären
> > > ja dann meine Kandidaten, aber woran erkenne ich nun, ob
> > > das richtig ist?
>
>
> Gruß
> MathePower
MathePower, Du hast recht !
FRED
|
|
|
| |
|
Okay, aber was bringt mir das für den Wendepunkt? Kann mir das noch bitte jemand sagen? :)
|
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
> Okay, aber was bringt mir das für den Wendepunkt? Kann mir
> das noch bitte jemand sagen? :)
Nun, mögliche Kandidaten sind, wie Du schon selbst festgestellt hast,
0 und 2. Ob dem wirklich so ist, ist dann mit der dritten Ableitung
von f festzustellen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Okay, also muss ich hier auf jeden Fall noch die 3. ABleitung hinzuziehen.
Aber wie sähe es hier aus?
Ich habe eine Funktion, bei der ich f'>0 für 0<x<4 also im Intervall (0,4)
und f'(x)<0 für x<0 oder x>4
also fallend im Intervall (-unendlich,0)U(4,unendlich) (kann ich das so schreiben?
Kann ich dann sagen, dass die lokalen Maxima/Minima so lauten:
x=0: Minimum
x=4 Maximum?
|
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
> Okay, also muss ich hier auf jeden Fall noch die 3.
> ABleitung hinzuziehen.
>
> Aber wie sähe es hier aus?
>
> Ich habe eine Funktion, bei der ich f'>0 für 0<x<4 also im
> Intervall (0,4)
>
> und f'(x)<0 für x<0 oder x>4
>
> also fallend im Intervall (-unendlich,0)U(4,unendlich)
> (kann ich das so schreiben?
Ja.
>
> Kann ich dann sagen, dass die lokalen Maxima/Minima so
> lauten:
>
> x=0: Minimum
> x=4 Maximum?
Ebenfalls ja.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
