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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
f(x,y) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{16 -x^2 -y^2}}
[/mm]
Definitionsbereich
0 < 16 [mm] -x^2 -y^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2< [/mm] 16
Den Definitionsbereich kann ich ja wie folgt aufzeichnen: Also es ist eigentlich überall definiert, ausgenommen im Bereich des eingezeichneten Kreises
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bildbereich
ich stell mir das so vor: Ich setze einen Wert für x und y ein und dann kommt ein Output raus. Dieser Output ist der Bildbereich. Sicherlich kann der Bildbereich nicht negative Werte beinhalten, da die gezogene Wurzel niemals negativ werden kann. wenn ich für x und y die minalen Werte einsetze. z. B. x = 4 und y = 0, dann erhalte ich [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] Also geht der Bildbereich von [mm] \bruch{1}{4} [/mm] bis unendlich?
Niveaukurve:
c = [mm] \bruch{1}{\wurzel{16 -x^2 -y^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{c^2} [/mm] = 16 [mm] -x^2 -y^2
[/mm]
[mm] x^2 +y^2 [/mm] = 16 - [mm] \bruch{1}{c^2}
[/mm]
Also ein kreis mit Mittelpunkt M(0,0) und [mm] r^2 [/mm] = 16 - [mm] \bruch{1}{c^2}
[/mm]
Doch wenn c = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist, bleibt doch nur noch ein Punkt übrig?
und wenn c < [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Danke, Gruss Kuriger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kuriger,
> f(x,y) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{16 -x^2 -y^2}}[/mm]
>
> Definitionsbereich
>
> 0 < 16 [mm]-x^2 -y^2[/mm]
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2<[/mm] 16
>
> Den Definitionsbereich kann ich ja wie folgt aufzeichnen:
> Also es ist eigentlich überall definiert, ausgenommen im
> Bereich des eingezeichneten Kreises
> [Dateianhang nicht öffentlich]
der von Dir hier rot markierte Bereich, einschließlich des blauen Bereichs, der den Rand des Kreises darstellt, ist genau der Bereich, wo [mm] $f\,$ [/mm] NICHT definiert ist.
(Anders gesagt: Nur der weiße Bereich ist der Definitionsbereich von [mm] $f\,.$)
[/mm]
Du hast ja mit
$$0 < 16 -x [mm] ^2-y^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2+y^2 [/mm] < 16$$
[mm] $$\gdw (x-0)^2+(y-0)^2 [/mm] < [mm] 4^2$$
[/mm]
die (bestmögliche) Bedingung aufgestellt, so dass der Radikand $> 0$ bleibt, und der [mm] $f\,$ [/mm] definierende Term damit die zwei Bedingungen:
1.) Wurzelterm ist (im Sinne der rellen Zahlen) definiert
2.) Es wird nicht durch Null geteilt
erfüllt. Also:
Für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2} [/mm] < 4$ ist [mm] $f(x,y)\,$ [/mm] ein (wohl-)definierter Ausdruck.
Vermutlich wolltest Du einfach zuerst sagen:
Naja, [mm] $f\,$ [/mm] wird dann nicht definiert sein, wenn der Radikand im Nenner rechterhand [mm] $\le [/mm] 0$ wird. Und damit kommst Du dann auf den roten Bereich, übrigens einschließlich des "blauen Randkreises".
Anders gesagt:
[mm] $f\,$ [/mm] ist genau für die Punkte im Inneren des Kreises mit Radizs [mm] $4\,$ [/mm] um [mm] $(0,0)\,$ [/mm] definiert.
Was denn Rest hier betrifft:
> Bildbereich
> ich stell mir das so vor: Ich setze einen Wert für x und
> y ein und dann kommt ein Output raus. Dieser Output ist der
> Bildbereich. Sicherlich kann der Bildbereich nicht negative
> Werte beinhalten, da die gezogene Wurzel niemals negativ
> werden kann. wenn ich für x und y die minalen Werte
> einsetze. z. B. x = 4 und y = 0, dann erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{4}.[/mm] Also geht der Bildbereich von [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> bis unendlich?
>
> Niveaukurve:
> c = [mm]\bruch{1}{\wurzel{16 -x^2 -y^2}}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{c^2}[/mm] = 16
> [mm]-x^2 -y^2[/mm]
>
> [mm]x^2 +y^2[/mm] = 16 - [mm]\bruch{1}{c^2}[/mm]
>
> Also ein kreis mit Mittelpunkt M(0,0) und [mm]r^2[/mm] = 16 -
> [mm]\bruch{1}{c^2}[/mm]
>
> Doch wenn c = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ist, bleibt doch nur noch ein
> Punkt übrig?
>
> und wenn c < [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
Bitte mal die komplette Aufgabenstellung mitliefern! (Auch, wenn es anerkennenswert ist, wenn Du Dir das "alleine" überlegt haben solltest - oder versuchst Du Dir nur bestimmte Begriffe anhand eines Beispiels klar(er) zu machen? Aber auch dann kannst Du sicher selbst eine "Aufgabenstellung" formulieren, worum es Dir nun geht...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Hallo
>
>
> f(x,y) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{16 -x^2 -y^2}}[/mm]
>
> Definitionsbereich
>
> 0 < 16 [mm]-x^2 -y^2[/mm]
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2<[/mm] 16
>
> Den Definitionsbereich kann ich ja wie folgt aufzeichnen:
> Also es ist eigentlich überall definiert, ausgenommen im
> Bereich des eingezeichneten Kreises
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Bildbereich
> ich stell mir das so vor: Ich setze einen Wert für x und
> y ein und dann kommt ein Output raus.
der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] wird also etwas im (dreidimensionalen) Raum sein.
> Dieser Output ist der
> Bildbereich. Sicherlich kann der Bildbereich nicht negative
> Werte beinhalten, da die gezogene Wurzel niemals negativ
> werden kann.
D.h. wenn ich die xy-Ebene kenne, die meinen Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] enthält und ich mich dann in diesem Definitionsbereich befinde, werden die Funktionswerte "nur auf einer Seite der Ebene" zu sehen sein ("oben").
> wenn ich für x und y die minalen Werte
> einsetze. z. B. x = 4 und y = 0, dann erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{4}.[/mm]
Das ist natürlich falsch. Es wäre (bitte die folgende Rechnung "symbolisch" und mit VORSICHT genießen)
[mm] $$f(x,y)=f(4,0)=\frac{1}{\sqrt{16-x^2-y^2}}=\frac{1}{\sqrt{16-16-0}}=\frac{1}{\sqrt{0}}=\red{\frac{1}{0}}$$
[/mm]
woran Du erkennst (da die Division durch Null nicht definiert respektive "nicht erlaubt" ist), dass [mm] $(x,y)=(4,0)\,$ [/mm] nicht zum Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] gehört.
Gruß,
Marcel
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