Definitionsbereich von x² < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:56 Do 17.06.2010 | | Autor: | hicon |
Hallo,
x² lässt sich doch zu e^(ln(x²)), was doch laut den Logarithmusgesetzen dasselbe wie e^(2*ln(x)) sein sollte.
Das Problem, das ich dabei sehe, ist, dass bei x² = e^(ln(x²)) sich der Definitionsbereich von ganz [mm] \IR [/mm] zu [mm] \IR \(0) [/mm] und im Falle von e^(2*ln(x)) sogar zu [mm] \IR+ [/mm] ändert (wegen dem eingeschränkten Def.bereich von ln(x) )
Dabei handelt es sich doch um "legale" Umformungen, die man da durchführt. Wie ist das zu erklären?
Vielen dank,
hicon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> x² lässt sich doch zu e^(ln(x²)), was doch laut den
> Logarithmusgesetzen dasselbe wie e^(2*ln(x)) sein sollte.
> Das Problem, das ich dabei sehe, ist, dass bei x² =
> e^(ln(x²)) sich der Definitionsbereich von ganz [mm]\IR[/mm] zu [mm]\IR \backslash\{0\}[/mm]
> und im Falle von e^(2*ln(x)) sogar zu [mm]\IR^{+}[/mm] ändert (wegen
> dem eingeschränkten Def.bereich von ln(x) )
>
> Dabei handelt es sich doch um "legale" Umformungen, die man
> da durchführt. Wie ist das zu erklären?
Hallo hicon,
für eine beliebige reelle Zahl $\ x$ mit $\ [mm] x\,\not=\,0$ [/mm] lautet die korrekte
Umformung von $\ [mm] ln(x^2)$ [/mm] nicht $\ 2*ln(x)$, sondern $\ 2*ln(|x|)$ .
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 17.06.2010 | | Autor: | hicon |
Hallo Al-Chwarizmi,
aber wie sieht es dann z.B. mit x³ = exp(ln(x³)) aus? Wie muss ich hier (korrekterweise) umoformen, damit ich auch negative Zahlen einsetzen darf und der Def.bereich somit erhalten bleibt?
Und noch ein Beispiel:
Wir haben [mm] (x^x)^x. [/mm] Ich habe umgeformt zu (x^(x²)) = exp( x² * ln (x) ).
[mm] (0^0)^0 [/mm] = 1, oder nicht? Aber exp( x² * ln (x) ) mit x=0 ist ja nicht möglich...
Ich bin verunsichert, denn ich sehe keine Regel wann ich diese Umformung mit ln und exp nutzen darf, ohne dass dabei der ursprüngliche Ausdruck verändert wird!?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 17.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist so: die Gleichung
(1) $t= exp(ln(t))$ gilt nur für t>0. Fertig !
Und wenn t=heinrich ist, so gilt (1) nur, falls dieser heinrich positiv ist.
D.h. also: die Gleichung
(2) [mm] $x^3= exp(ln(x^3))$ [/mm]
ist nur für positive x richtig. Ist x=0, so ist die rechte Seite von (2) nicht definiert und für x<0 ist (2) falsch, da $exp(.....)$ immer positiv ist.
Genauso ist es bei der Gleichung
(3) [mm] $x=\wurzel{x^2}$
[/mm]
(3) ist nur für x [mm] \ge [/mm] 0 richtig. Für x<0 gilt
(4) [mm] $-x=\wurzel{x^2}$
[/mm]
(3) und (4) kannst Du auch zusammenfassen zu
[mm] $|x|=\wurzel{x^2}$ [/mm]
FRED
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> die Gleichung
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> (2) [mm]x^3= exp(ln(x^3))[/mm]
>
> ist nur für positive x richtig. Ist x=0, so ist die rechte
> Seite von (2) nicht definiert und für x<0 ist (2) falsch,
> da [mm]exp(.....)[/mm] immer positiv ist.
... falls $\ (.....)$ überhaupt definiert ist.
Im vorliegenden Beispiel ist aber für x<0 der [mm] ln(x^3)
[/mm]
gar nicht definiert (in [mm] \IR) [/mm] und demnach auch [mm] exp(ln(x^3)) [/mm] nicht.
Für negatives x ist die Gleichung also nicht wahr, jedoch
nicht einmal falsch, weil sie schon gar nicht definiert ist ...
Gruß
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Do 17.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > die Gleichung
> >
> > (2) [mm]x^3= exp(ln(x^3))[/mm]
> >
> > ist nur für positive x richtig. Ist x=0, so ist die rechte
> > Seite von (2) nicht definiert und für x<0 ist (2) falsch,
> > da [mm]exp(.....)[/mm] immer positiv ist.
>
> ... falls [mm]\ (.....)[/mm] überhaupt definiert ist.
>
> Im vorliegenden Beispiel ist aber für x<0 der [mm]ln(x^3)[/mm]
> gar nicht definiert (in [mm]\IR)[/mm] und demnach auch [mm]exp(ln(x^3))[/mm]
> nicht.
> Für negatives x ist die Gleichung also nicht wahr, jedoch
> nicht einmal falsch, weil sie schon gar nicht definiert ist
> ...
>
> Gruß
>
> Al
>
Hallo Al,
wie immer hast Du recht
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 17.06.2010 | | Autor: | hicon |
| Aufgabe | | Bestimmen sie den maximalen Def.bereich von [mm] f(x)=(x^x)^x [/mm] |
Danke für die Antworten, aber das hilft mir noch nicht wirklich weiter.
Ich habe die eigentliche Aufgabe oben nochmal zitiert.
Wie bereits gesagt: Vor der Umformung, lässt sich x=0 einsetzen. Nach der Umformung ( exp(x² * ln(x) ) offensichtlich nicht mehr!?
Welcher Def.bereich gilt denn nun? Wenn man stichprobenartig negative Zahlen in f(x) einsetzt so sieht man, dass für x = -2 ein Wert existiert, aber nicht für x = -1/2 (Wurzel aus negativer Zahl).
Der Grund, weshalb ich so auf diese "exp(ln(x))-Umformung" erpicht bin, ist eigentlich nur der, dass wir auf diese Weise im Tutorium den Def.bereich einer sehr ähnlichen (aber nicht gleichen) Funktion bestimmt haben.
Nämlich von [mm] x^{x^x} [/mm] = exp( ( exp (x*ln(x) ) * ln (x) ). Aufgrund dieser Umformung soll der Def.bereich = [mm] \IR [/mm] + sein wegen ln(x)...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 17.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie den maximalen Def.bereich von [mm]f(x)=(x^x)^x[/mm]
> Danke für die Antworten, aber das hilft mir noch nicht
> wirklich weiter.
> Ich habe die eigentliche Aufgabe oben nochmal zitiert.
>
> Wie bereits gesagt: Vor der Umformung, lässt sich x=0
> einsetzen. Nach der Umformung ( exp(x² * ln(x) )
> offensichtlich nicht mehr!?
>
> Welcher Def.bereich gilt denn nun? Wenn man
> stichprobenartig negative Zahlen in f(x) einsetzt so sieht
> man, dass für x = -2 ein Wert existiert, aber nicht für x
> = -1/2 (Wurzel aus negativer Zahl).
>
> Der Grund, weshalb ich so auf diese "exp(ln(x))-Umformung"
> erpicht bin, ist eigentlich nur der, dass wir auf diese
> Weise im Tutorium den Def.bereich einer sehr ähnlichen
> (aber nicht gleichen) Funktion bestimmt haben.
>
> Nämlich von [mm]x^{x^x}[/mm] = exp( ( exp (x*ln(x) ) * ln (x) ).
> Aufgrund dieser Umformung soll der Def.bereich = [mm]\IR[/mm] + sein
> wegen ln(x)...
solche Aufgaben sind eh meist sehr mit Skepsis zu bearbeiten, da es ja schon alleine die Frage ist, was der Autor unter "dem maximalen Definitionsbereich" versteht.
(Man müßte zudem schon die Grundmenge angeben, von welcher dieser maximale Definitionsbereich Teilmenge sein sollte. So ist ja $f(x)=1/x$ sowohl auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] als auch auf [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] definiert, aber bzgl. [mm] $\IC$ [/mm] wäre der maximale Definitionsbereich sicher nicht [mm] $\IR \setminus \{0\}$. [/mm] Weiterhin gehören ja der Definitionsbereich und Zielbereich einer Funktion sowieso zu dem Begriff Funktion selbst. Denn man kann zwar sagen, dass $g: [mm] [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] umkehrbar ist, aber würde man [mm] $g\,$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to [0,\infty)$ [/mm] betrachten, so wäre das nicht mehr der Fall. Und wenn man nun $f: ? [mm] \to (0,\infty) \setminus \{0\}$ [/mm] mit $f(x)=1/x$ betrachtet, so würde hier [mm] $?\,$ [/mm] sicher maximal $(0, [mm] \infty)$ [/mm] sein; anders wäre es z.B., wenn man [mm] $f\,$ [/mm] als Funktion $? [mm] \to \IR$ [/mm] betrachten würde.
Also sowohl der Definitionsbereich als auch der Zielbereich gehören kennzeichnend zu einer Funktion (per Definitionem des Begriffes "Funktion"), und es ist eigentlich sehr unklar, was nun der "maximale Definitionsbereich" sein soll, da man durch gewisse Einschränkungen (auch an den Zielbereich) verschiedene Ergebnisse erhält. Ausdrücke der Form $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] oder [mm] $f(x)=x^2 [/mm] $ sind nur ![[]](/images/popup.gif) Zuordnungsvorschriften bzw. Funktionsgleichungen (und sie alleine charakterisieren sicherlich noch keine Funktion), und bzgl. derer ist die Aufgabenstellung, einen "maximalen Definitionsbereich" zu bestimmen, eigentlich so gut wie sinnlos; man bräuchte schon einiges mehr an Informationen, damit diese Aufgabenstellung auch nur annähernd sinnvoll wird; s.o..)
Alleine schon, wenn man $x [mm] \mapsto h(x):=x^x$ [/mm] betrachtet:
Für $x > 0$ kann man [mm] $x^x=e^{x*ln(x)}$ [/mm] schreiben. Daher kann man sicher sagen, dass [mm] $(0,\infty)$ [/mm] "Teilmenge des "maximalen Definitonsbereiches von [mm] $h\,$" [/mm] (was immer das sein soll)" sein wird. Andererseits macht [mm] $k^k$ [/mm] auch für alle $k [mm] \in \IZ$ [/mm] Sinn, während z.B. so etwas wie [mm] $(-1/2)^{-1/2}$ [/mm] (zumindest, wenn [mm] $h\,$ [/mm] nicht gerade nach [mm] $\IC$ [/mm] abbilden soll) wieder problematisch wird.
Bei Ausdrücken der Form [mm] $(-1/3)^{-1/3}$ [/mm] bekäm' man evtl. wieder etwas "sinnvolles" heraus. Aber wegen $-1/3=-2/6$ könnte man dann mithilfe der bisherigen Rechengesetze in Konflikte kommen, denn hier wäre
[mm] $$(-1/3)^{-1/3}=-\sqrt[3]{3}$$ [/mm]
aber
[mm] $$(-2/6)^{-2/6}=(-6/2)^{2/6}=\sqrt[6]{9}=\sqrt[3]{3}\,.$$
[/mm]
Zudem hängt das alles sogar noch davon ab, wie man solche Ausdrücke einführt. Zum Beispiel:
Nach Definition 7.8 wäre bei [mm] $h(x)=x^x$ [/mm] alleine definitionsgemäß der maximale Definitionsbereich [mm] $(0,\infty)$, [/mm] weil ja [mm] $x^x=a^b$ [/mm] mit [mm] $\,a=x$ [/mm] und [mm] $\,b=x$ [/mm] ist, und die Definition dort fordert, dass $x=a > [mm] 0\,$ [/mm] und $b=x [mm] \in \IC$ [/mm] ist. Also muss $x [mm] \in (0,\infty)\cap \IC=(0,\infty)$ [/mm] sein, und für alle solche ist [mm] $x^x:=e^{x*\ln(x)}$ [/mm] definiert. Nach dieser Definition wäre dann aber auch
[mm] $$(-3)^{-3}$$
[/mm]
nicht definiert, obwohl
[mm] $$(-3)^{-3}=-\frac{1}{3^3}$$
[/mm]
sicherlich auch eine sinnvolle Interpretation von [mm] $(-3)^{-3}$ [/mm] wäre, und man mit einer solchen Argumentation vielleicht sogar sagen könnte, dass für
[mm] $$h(x)=x^x$$
[/mm]
nun [mm] $[0,\infty) \cup \IZ$ [/mm] Teilmenge des maximalen Definitionsbereiches von [mm] $h\,$ [/mm] (als Abbildung nach [mm] $\IR$) [/mm] wäre. Fordert man beim maximalen Definitionsbereich allerdings auch zusätzlich, dass dieser zusammenhängend sein soll, dann sieht es schon wieder anders aus.
Fazit: Bevor man Aufgaben über "maximale Definitionsbereiche" eigentlich auch nur annähernd sinnvoll bearbeiten kann, müßte man erstmal eine "angemessene Definition" abliefern, was man nun darunter zu verstehen hat.
Denn auch, wenn [mm] $h(x)=x^x$ [/mm] mit [mm] $x^x:=\exp(x*\ln(x))$ [/mm] erstmal nur für $x > [mm] 0\,$ [/mm] (nach Definition 7.8) sinnvoll definiert ist, hindert mich doch niemand daran, einfach [mm] $h(x)=x^x:=1$ [/mm] für $x [mm] \le [/mm] 0$ zu "definieren" (es sei denn, man fordert noch irgendetwas an [mm] $x^x$, [/mm] um bekannte Rechenregeln "auch weiter anwenden zu dürfen"). Und auf wundersame Weise ist dann [mm] $h\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Do 17.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Es gibt viele "erlaubte" Umformungen, die aber nicht den Definitionsbereich erhalten.
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