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Hallo,
ich habe ein paar Verständnisfragen:
Was ist genau ein Zählergrad bzw. Nennergrad?
(ist das einfach die höchste Potenz, die den Grad angibt?)
Was ist ein Polynom?
(ich habe nur folgende Definition, die ich aber nicht ganz verstehe: Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen)
Was ist eine Polstelle???
Wie erkennt man Definitionlücken, was sind das überhaupt und es gibt ja auch verschiedene: hebare, nicht hebbare,...???
Was ist eine Näherungskurve bei gebrochen rationalen Funktionen??
Wäre schön, wenn ihr meine Fragen beantworten könnt.
Grüße
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mi 21.06.2006 | | Autor: | jerry |
Hallo Julia,
Zählergrad/Nennergrad:
genau, die höchste Potenz gibt den Grad an:
also zB. [mm] \frac{x^2}{x+1} [/mm] hier ist der Grad im Zähler also 2 und im Nenner 1
logisch oder? =)
Polynom:
die definition sagt schließlich nichts anderes als das ein polynom ein term der form:
[mm] a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1+a_2\cdot x^2+...+a_n\cdot x^n
[/mm]
als beispiel:
[mm] x^2 [/mm] hier sind nun alle faktoren der potenzen 0 außer [mm] a_2=1
[/mm]
[mm] 4\cdot x^3+2\cdotx+4 [/mm] hier gilt: [mm] a_3=4, a_1=2, a_0=4, [/mm] alle anderen faktoren (auch koeffizienten) sind 0
Definitionslücke:
Eine Definitonslücke entsteht immer dann, wenn die Funktion an einer oder mehreren Stellen nicht definiert ist.
z.B. [mm] f(x)=\frac{1}{x}
[/mm]
diese funktion ist für x=0 nicht definiert.
an diesen lücken können nun zwei dinge auftreten:
1. eine Polstelle
2. eine Lücke
1. eine Polstelle entsteht dann an der Stelle [mm] x_0, [/mm] wenn [mm] Nenner(x_0)=0 [/mm] und [mm] Zaehler(x_0) \not=0
[/mm]
d.h. die Funktion geht von links und rechts an diesen punkt gegen [mm] \pm \infty
[/mm]
2. wenn zähler und nenner null werden entsteht eine lücke, also die kurve läuft eigentlich stetig, hat aber an diesem punkt eine nicht definierte lücke also eine unstetigkeitsstelle. ein punkt der kurve wird sozusagen einfach "geklaut" =)
diese lücke heißt nun hebbar, wenn man durch kürzen diese lücke herausbekommt. es entsteht die selbe funktion allerdings ohne definitionslücke
beispiel aus wikipedia:
[mm] f(x)=\frac{x^3+4x^2+5x+2}{x^3+x^2-x-1} [/mm] mit der Lücke x=-1
läßt sich kürzen zu [mm] \frac{x+2}{x-1} [/mm] die Definitonslücke x=-1 ist verschwunden, also behoben.
näherungskurve:
die näherungskurve hat etwas mit dem Verlauf der Funktion gegen [mm] \pm \infty [/mm] zu tun. also wie verläuft die kurve ins unendliche. nähert sich sich einer waagrechten an? oder einer schrägen geraden oder sogar einer anderen kurve?
prinzipiell gilt:
wenn zählergrad < nennergrad: waagrechte asymptote bei y=0, also die x-achse selbst.
wenn zählergrad = nennergrad: waagrechte asymptote
wenn zählergrad= nennergrad +1: schiefe Gerade
wenn zählergrad= nennergrad +2: Kurve mit grad 2
die näherungskurve bekommst du, wenn es nicht grade schon die x-achse ist, durch Polynomdivision, also (zählerpolynom):(nennerpolynom)
hier bei entsteht ein rationaler teil und genau dieser ist dann deine näherungsfunktion.
ein beispiel findest du auch in diesem artikel: https://www.vorhilfe.de/read?t=25705
ich hoffe es ist klarer geworden, ansonsten frag einfach nochmal nach
oder versuchs einfach mal an nem konkreten beispiel aus.
gruß
benjamin
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Hallo Benjamin
erstmal vielen dank für deine schnelle Antwort.
Ich habe aber immernoch nicht alles verstanden.
Also was genau soll ein Polynom sein???
Ich versteh das Beispiel leider nicht
Zur Definitionslücke, woher weiß ich, wann eine Funktion eine Definitonslücke hat???
Warum ist bei f(x) = 1/x für x=0 eine defintionslücke??
Wie kann ich bei einer Polstelle die Funtkion auf +- unendlich untersuchen
Wie kürzt man, dass eine hebbare Lücke ensteht, habe ich leider nicht ganz verstanden
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Hallo Julia!
> Also was genau soll ein Polynom sein???
> Ich versteh das Beispiel leider nicht
Was eine Funktion ist, weißt du, oder? Und ein Polynom ist quasi eine Funktion, die eine bestimmte "Form" hat. Nämlich die Form, dass da keine "Exponentialteile" drin vorkommen, auch keine [mm] \sin [/mm] oder [mm] \cos [/mm] oder so etwas Unschönes. Sondern nur Potenzen von x (Potenzen sind halt "x hoch irgendwas"), diese teilweise multipliziert mit irgendeinem Faktor (also irgendeiner Zahl) und dann mehrere davon einfach addiert.
Also: [mm] f(x)=2x^3+x^2+6x+1
[/mm]
Es kommen die Potenzen von x vor: [mm] x^3, x^2, x^1=x [/mm] und [mm] x^0=1. [/mm] Die Faktoren, mit denen diese Potenzen teilweise multipliziert werden, sind 2, 1, 6 und 1 (man nennt sie auch Koeffizienten). Und zwar steht der Koeffizient 2 bei der dritten Potenz von x, nämlich dem [mm] x^3, [/mm] der Koeffizient 1 bei der zweiten, dem [mm] x^2, [/mm] der Koeffizient 6 bei [mm] x^1=x [/mm] und der Koeffizient 1 bei [mm] x^0=1. [/mm]
In welchem Zusammenhang brauchst du das denn? Vielleicht ist es dann einfach zu erklären, denn es ist eigentlich wirklich etwas recht Simples. 
> Zur Definitionslücke, woher weiß ich, wann eine Funktion
> eine Definitonslücke hat???
Weil sie dort nicht definiert ist!
> Warum ist bei f(x) = 1/x für x=0 eine defintionslücke??
Naja, sezt doch mal x=0 ein - was bekommst du? Mit dem Taschenrechner wahrscheinlich "ERROR". Denn durch 0 darfst du nicht teilen, also ist die Funktion dort nicht definiert. Wenn du den Definitionsbereich einer Funktion bestimmst, und die Funktion ist für irgendeine Zahl nicht definiert, so ist das eine Definitionslücke.
> Wie kann ich bei einer Polstelle die Funtkion auf +-
> unendlich untersuchen
Kennst du den Grenzwert? [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] - das ist genau das, was du brauchst. Um das zu berechnen, setzt du einfach immer größere bzw. kleinere Zahlen ein und guckst, was mit der Funktion passiert.
> Wie kürzt man, dass eine hebbare Lücke ensteht, habe ich
> leider nicht ganz verstanden
Naja, das geht halt nur bei hebbaren Lücken. Da kann man einen Teil des Bruches einfach kürzen, so dass bei dem, was übrig bleibt, keine Definitionslücke mehr ist. Weil wir diese eben sowohl im Zähler als auch im Nenner hatten, und wenn wir diesen nicht definierten Teil wegkürzen, dann ist die Lücke halt weg. 
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Mi 21.06.2006 | | Autor: | juliaharti |
Danke für deine Hilfe, ich denke ich habe die sachen verstanden.
Ich muss diese Dinge allgemein verstehen, da ich nächste Woche ins mündliche gehe und Sachen allgeimen erklären können muss und mir beim lernen Verstädninsprobleme gekommen sind.
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