Definitionsmenge < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Lösen sie das AWP und bestimmen sie für sämtliche Lösungen den maximalen Definitionsbereich
[mm] y'=\bruch{1}{x+2} \sqrt{y}, [/mm] y(0)=0 |
Die beiden Lösungen sind ja y=0 und [mm] y=\bruch{1}{4}ln(\bruch{x+2}{2})^2
[/mm]
Beide erfüllen das AWP. Die Frage ist jetzt noch die bzgl der Definitionsmenge.
Grundsätzlich ist ja wegen der gegebenen DGL x=-2 ausgeschlossen.
Ich frage mich jetzt aber, ob für die Lösung
y=0 der Definitionsbereich dann D=IR\ {-2} ist, oder, ob D=[0, [mm] \infty[, [/mm] da der Startwert ja 0 ist. Mit anderen Worten: Muss man bei der Angabe der Defmenge bei einem AWP den Anfangswert [mm] x_0 [/mm] beachten?
Für y= [mm] \bruch{1}{4}ln(\bruch{x+2}{2})^2 [/mm] muss es dann lauten x>-2 oder x [mm] \ge [/mm] 0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Lösen sie das AWP und bestimmen sie für sämtliche
> Lösungen den maximalen Definitionsbereich
> [mm]y'=\bruch{1}{x+2} \sqrt{y},[/mm] y(0)=0
> Die beiden Lösungen sind ja y=0 und
> [mm]y=\bruch{1}{4}ln(\bruch{x+2}{2})^2[/mm]
Das sollte aber lauten
[mm]y=\bruch{1}{4}(ln(\bruch{x+2}{2}))^2[/mm]
>
> Beide erfüllen das AWP. Die Frage ist jetzt noch die bzgl
> der Definitionsmenge.
>
> Grundsätzlich ist ja wegen der gegebenen DGL x=-2
> ausgeschlossen.
>
> Ich frage mich jetzt aber, ob für die Lösung
> y=0 der Definitionsbereich dann D=IR\ {-2} ist, oder, ob
> D=[0, [mm]\infty[,[/mm] da der Startwert ja 0 ist. Mit anderen
> Worten: Muss man bei der Angabe der Defmenge bei einem AWP
> den Anfangswert [mm]x_0[/mm] beachten?
>
> Für y= [mm]\bruch{1}{4}ln(\bruch{x+2}{2})^2[/mm] muss es dann
> lauten x>-2 oder x [mm]\ge[/mm] 0?
>
>
Für beide Lösunge ist der max. Definitionsbereich= (-2, [mm] \infty)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke. Nochmal zur Sicherheit, wenn ich bei einem AWP die Definitionsmenge bestimmen soll, spielt das [mm] x_0 [/mm] keine Rolle? Ich dachte halt, dass man erst dort anfangen duerfte, weil es ja quasi der Startwert ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke. Nochmal zur Sicherheit, wenn ich bei einem AWP
> die Definitionsmenge bestimmen soll, spielt das [mm]x_0[/mm] keine
> Rolle?
Nein ! Der maximale Def.- Bereich ist ein Intwrvall, welches [mm] x_0 [/mm] enthält.
FRED
> Ich dachte halt, dass man erst dort anfangen
> duerfte, weil es ja quasi der Startwert ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
Warum ist denn auch für die Lösung y=0 der Defbereich (-2, unendlich)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Warum ist denn auch für die Lösung y=0 der Defbereich
> (-2, unendlich)?
Schau doch mal die DGL an:
$ [mm] y'=\bruch{1}{x+2} \sqrt{y}, [/mm] $
Die ist von der Bauart y'=f(x,y) mit x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \{-2\} [/mm] und y [mm] \ge [/mm] 0.
Offenbar hast Du den Lösungsbegriff einer DGL nicht verstanden (oder vielleicht auch Dein Dozent ?)
Eine Lösung obiger DGL ist eine differenzierbare Funktion y:I [mm] \to [/mm] [0, [mm] \infty), [/mm] wobei I ein Intervall mit
I [mm] \subseteq \IR [/mm] \ [mm] \{-2\} [/mm]
ist und y'(x)=f(x,y(x)) gilt für x [mm] \in [/mm] I.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
Für die zweite Lösung ist das ja klar.
Ich glaube, ich stehe gerade mächtig auf dem Schlauch. Wieso ist für die Lösung y=0 nicht D=R\ {-2}. Konkret: weshalb darf man z.b. x=-3 nicht einsetzen?
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Hallo rollroll,
> Für die zweite Lösung ist das ja klar.
> Ich glaube, ich stehe gerade mächtig auf dem Schlauch.
> Wieso ist für die Lösung y=0 nicht D=R\ {-2}. Konkret:
> weshalb darf man z.b. x=-3 nicht einsetzen?
Weil x=-3 nicht im maximalen Definitionsbereich liegt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
Aber wenn doch y konstant 0 ist. Weshalb sollte dann der Defbereich (-2, unendlich ) sein? Wie gesagt für die zweite Lösung ist das klar.
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Hallo rollroll,
> Aber wenn doch y konstant 0 ist. Weshalb sollte dann der
> Defbereich (-2, unendlich ) sein? Wie gesagt für die
> zweite Lösung ist das klar.
Die DGL ist doch definiert für [mm]\IR \setminus \left \{-2\right\}[/mm].
Berechne doch die Intervalllänge links und rechts von -2.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
Konntest du bitte mal erklären, was du damit meinst?
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Hallo rollroll,
> Konntest du bitte mal erklären, was du damit meinst?
Es gibt zwei Intervalle:
[mm]\left(-\infty, \ -2\right)[/mm]
[mm]\left(-2, \ \infty\right)[/mm]
Von diesen beiden Intervallen ist die Länge zu berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
Was hat das mit der Defmenge für y=0 zu tun?
Wie soll ich denn die Länge eines Intervalls bestimmen, das bis unendlich geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:29 Fr 06.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Was hat das mit der Defmenge für y=0 zu tun?
> Wie soll ich denn die Länge eines Intervalls bestimmen,
> das bis unendlich geht?
Was Mathepower bezweckt, ist mir auch nicht klar.
Probieren wir es mal so: ist y:I [mm] \to \IR [/mm] eine Lösung der obigen DGL, so gilt:
[mm] $y'(x)=\bruch{\wurzel{y(x)}}{x+2}$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I.
Siehst Du jetzt, dass I den Punkt -2 nicht enthalten kann ?
Wenn es möglich ist, eine Lösung differenzierbar in -2 fortzusetzen, na schön, dann ist das halt möglich, aber diese Fortsetzung ist keine Lösung der DGL.
Ist es jetzt klarer ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Fr 06.02.2015 | | Autor: | rollroll |
Ich denke, ich habe es jetzt verstanden. Danke für deine Mühe!
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