Definitionsmenge Extremwertauf < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mi 15.06.2005 | | Autor: | the-big |
Hallo,
schreibe morgen Mathefachabi und finde leider nichts, wo mir verständlich erklärt wird, wie ich die Definitionsmenge einer Extremwertaufgabe aufstelle bzw. ermittel.
Kann mir bitte jemand ohne viel Fachbegriffe verständlich machen, wie ich vorgehe (am besten mit Beispiel).
Ich danke schon jetzt im voraus... das könnte mir noch nen Punkt sichern und ich benötige jeden Punkt.. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, the-big,
naja: Die Frage ist schon SEEEEHR allgemein gehalten.
Ich will dennoch versuchen, Dir ein bisschen zu helfen:
Bei vielen EW-Aufgaben geht es um Längen, Flächen, Volumina.
Klar, dass hier zumindest mal eines gilt:
Die müssen [mm] \ge [/mm] 0 sein!
Daraus lässt sich logisch in vielen Fällen bereits die Definitionsmenge herleiten.
Beispiel: Die bekannte Milchdosenaufgabe.
Wie müsste ein gerader Kreiszylinder ("Milchdose"; Radius r, Höhe h) bemessen sein, damit bei vorgegebener Oberfläche A das Volumen V maximal ist?
(Bemerkung: Die Aufgabe gibt's natürlich auch umgekehrt: Minimale Oberfläche bei konst. Volumen gesucht!)
Lösung (ohne Herleitung!):
V(r) = [mm] A*\bruch{r}{2}-r^{3}*\pi. [/mm] (A ist ja konstant!)
Nun zu Deiner Frage bezüglich der Definitionsmenge:
Klar, dass r (als Grundkreisradius des Zylinders) positiv sein muss: r>0.
Aber ist r auch nach oben beschränkt?
Nun: Sicher ist auch das Volumen der Dose positiv, also: V(r)>0.
Setze also mal V(r)=0 und Du erhältst 3 Lösungen:
r=0; [mm] r=\pm\wurzel{\bruch{A}{2\pi}}.
[/mm]
Die negative Lösung (r<0) ist uninteressant.
Demnach ergibt diese Überlegung folgende Definitionsmenge:
[mm] D_{V} [/mm] = ] 0 ; [mm] \wurzel{\bruch{A}{2\pi}} [/mm] [
Weitere Fragen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mi 15.06.2005 | | Autor: | the-big |
Hallo Zwerglein,
vielen vielen Dank für deine schnelle Reaktion.
Ich glaube nun das Prinzip etwas mehr verstanden zu haben. Die Nullstellen der Funktion V(r), die du in deinem Beispiel berechnest, sind quasi der Punkt auf der x-Achse, bei dem die Funktionswerte positiv sind?!
Was mache ich denn, wenn ich nun 3 Lösungen bei der Nullstellenberechnung erhalte, z.B. X=0, X=1 und x=3? In dem Fall müsste ich dann eine komplette Kurvendiskussion durchführen, um zu ermitteln, wo der Funktionswert > 0 ist oder?
Eine andere Frage wäre, was ist, wenn die Nullstellen x=1 und x=3 sind? Ich vermute, dann ist die Definitionsmenge bei einer bei einer Funktion mit positiver Steigung (z.B. nach oben geöffnete Parabel) [1;3], bei einer nach unten geöffneten Parabel wäre es dann [0;1] und [3;+unendl.[ ? Ist das so richtig?
Vielen Dank für deine/eure Geduld 
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Hi, the-big,
Naja:
Eine gewisse "Ahnung" solltest Du schon haben, wie eine ganzrationale Funktion aussieht!
Denn: Auch bei meinem Beispiel ist ja V(r) "als Ganzes betrachtet" eine Funktion 3.Grades:
Sie kommt von [mm] +\infty, [/mm] schneidet die waagrechte Achse (r-Achse)
drei(!)mal und geht dann nach [mm] -\infty.
[/mm]
(Mach' mal 'ne Skizze!)
Klar, dass uns nur das Intervall rechts der y-Achse interessiert, in dem der Graph oberhalb der r-Achse liegt!
Funktionen 2. oder 3. Grades sind bei solchen Aufgaben besonders häufig! Drum übe es, ihre Graphen zu skizzieren - und sei es auch nur ganz "grob"!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mi 15.06.2005 | | Autor: | the-big |
Hallo zwerglein,
die von mir genannten Lösungen wären aber in einem solchen Fall korrekt oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo the-big,
da stimmt was nicht ganz:
> Ich glaube nun das Prinzip etwas mehr verstanden zu haben. Die Nullstellen der Funktion V(r), die du in deinem Beispiel berechnest, sind quasi der Punkt auf der x-Achse, bei dem die Funktionswerte positiv sind?!
Nicht ganz, denn die Nullstellen grenzen einen Bereich ein, in dem die Funktionswerte entweder positiv oder negativ sind. Hier schließt man [mm] \pm \infty [/mm] mit ein. Tritt eine Nullstelle auf, wechselt das Vorzeichen, also nicht nur positive Werte - geht auch irgendwie gar nicht anders in [mm] \IR [/mm] (in [mm] \IC [/mm] bin ich überfragt)!
> Was mache ich denn, wenn ich nun 3 Lösungen bei der Nullstellenberechnung erhalte, z.B. X=0, X=1 und x=3? In dem Fall müsste ich dann eine komplette Kurvendiskussion durchführen, um zu ermitteln, wo der Funktionswert > 0 ist oder?
Naja, also um das nachzuweisen musst du dich auf jeden Fall bis zur zweiten Ableitung vorarbeiten. Brauchst du keinen Beweis, reicht es aus sich den
Verlauf vorzustellen (wenn man es kann!!!!)
Eine komplette (was auch immer komplett heißt?) Kurvendiskussion braucht es dazu nicht.
> Eine andere Frage wäre, was ist, wenn die Nullstellen x=1 und x=3 sind? Ich vermute, dann ist die Definitionsmenge bei einer bei einer Funktion mit positiver Steigung (z.B. nach oben geöffnete Parabel) [1;3], bei einer nach unten geöffneten Parabel wäre es dann [0;1] und [3;+unendl.[ ? Ist das so richtig?
Nein.
Mal dir mal (klingt lustig) eine nach oben geöffnete Parabel auf einen Zettel, mit besagten Nullstellen. Dann erkennst du:
von [mm] -\infty [/mm] kommend bis einschließlich 1, dass die Steigung negativ ist, die Funktionswerte sind positiv. Zwischen 1 und 3 ist die Steigung erst weiterhin negativ, wechselt dann am tiefsten Punkt über 0 nach positiv und bleibt so über 3 hinaus bis [mm] +\infty [/mm] .
Der Definitionsbereich der Funktion ist ganz [mm] \IR [/mm] .
Die Funktion hat ein Extremum (Tiefpunkt), d.h. an der Nullstelle der ersten Ableitung, wenn die Gerade von [mm] -\infty [/mm] nach [mm] +\infty [/mm] die X-Achse überschreitet.
Ob die errechneten Werte in dem gewünschten Bereich (in der Definitionsmenge) des Definitionsbereichs liegen, hängt von der Aufgabenstellung ab. Der Definitionsbereich der Funktion hat mit der Aufgabe nix zu tun.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 15.06.2005 | | Autor: | the-big |
Hallo Herby,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe bei deinen Erläuterungen nur ein Problem und zwar, dass sie meiner Meinung zwar allgemein durchaus gültig sind, aber sich im Bereich von Extremwertaufgaben nicht anwenden lassen.
Eine Definitionsmenge inkl -unendlich ist bei Extremwertaufgaben (also zumindest die, die ich kenne, d.h. Flächenberechnung o.ä.) nicht denkbar.
Die Definitionsmenge ist doch bei diesen Aufgaben der Bereich, in dem die Funktion gütlige Werte besitzt, d.h. der Bereich, in dem der Funktionswert positiv ist (eine negative Fläche wäre sinnlos).
Bei der Zeichnung oben genannter, nach oben geöffneter Parabel mit den Nullstellen x=1 und x=3 wäre die Definitionsmenge dann doch [0;1] und [3;+unendl.[, bei einer nach unten geöffneten mit den selben Nullstellen [1;3].
Viele Grüße, the-big
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Hallo Herby,
> vielen Dank für deine Antwort. Ich habe bei deinen
> Erläuterungen nur ein Problem und zwar, dass sie meiner
> Meinung zwar allgemein durchaus gültig sind, aber sich im
> Bereich von Extremwertaufgaben nicht anwenden lassen.
> Eine Definitionsmenge inkl -unendlich ist bei
> Extremwertaufgaben (also zumindest die, die ich kenne, d.h.
> Flächenberechnung o.ä.) nicht denkbar.
Das ist ja auch der Definitionsbereich der Funktion! Ein Extremum kann ja nur zwischen zwei Nullstellen liegen (damit meinte ich die, durch die Aufgabe vorgegebene Definitionsmenge), zu denen natürlich [mm] \pm \infty [/mm] nicht zugehört. (Hatte ich so auch nicht gemeint)
>
> Die Definitionsmenge ist doch bei diesen Aufgaben der
> Bereich, in dem die Funktion gütlige Werte besitzt, d.h.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> der Bereich, in dem der Funktionswert positiv ist (eine
> negative Fläche wäre sinnlos).
Wir reden hier über zwei verschiedene Dinge!
> Bei der Zeichnung oben genannter, nach oben geöffneter
> Parabel mit den Nullstellen x=1 und x=3 wäre die
> Definitionsmenge dann doch [0;1] und [3;+unendl.[, bei
> einer nach unten geöffneten mit den selben Nullstellen
> [1;3].
Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.
Eine Funktion z.B. [mm] y=x^{2} [/mm] wird erst durch die Beschränkung des Definitionsbereichs auf ein bestimmtes Intervall zu einer Flächenfunktion.
Eine Flächenfunktion mit zwei unterschiedlichen Nullstellen ist mir nicht bekannt.
Bei Extremwertaufgaben ist nicht die Frage nach einem bestimmten Wert einer Funktion zu klären, sondern ob es in einem fest vorgegebenen Intervall eine Extremalstelle gibt.
Nach dieser Extremalstelle wird gefahndet. Bei deiner Aufgabe ist die Parabel nach unten geöffnet. Bei genau dem Punkt, bei dem die Parabel die X-Achse von positiv kommend schneidet, liegt in der Stammfunktion ein Hochpunkt vor, d.h. hier wird das Volumen maximal (kein Wert!). Den zugehörigen Wert des Volumens musst du separat ermitteln. Aber es ist nach r (glaub ich) gefragt nicht nach V.
Trenn das bitte
edit:
Zu deiner ursprüglichen Frage nach der Definitionsmenge und der Festlegung selbiger: In diesem speziellen Fall (r=Radius) ermittelst du lediglich aus der Volumenformel den Bereich, in dem r positiv ist, weil die Formel für die Grundfläche halt nur auf diesem definiert ist, o.k.?
Jetzt verständlicher???
Wenn nicht, frag nochmal!
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 15.06.2005 | | Autor: | the-big |
Hallo Herby,
vielen Dank für deine Mühen!
Ich glaube, wir reden hier wirklich von zwei verschiedenen Sachen, das ist mir jetzt aufgefallen, als du von der Stammfunktion geredet hast. Mit Nullstellen der Parabel meinte ich, das die Parabel in den Fall die Funktion zum Berechnen des Volumens ist. An den Stellen, wo eine nach unten geöffnete Parabel die x-Achse schneidet bzw. bei 0, wenn die erste Nullstelle einen negativen x-Wert besitzt, kann ich doch meine Definitionsmenge ablesen oder???
Die Nullstellen meiner Ableitungsfunktion sind natürlich die Stellen, an denen meine Extremalstellen zu finden sind (zumindest wenn die zweite Ableitung ungleich null ist), das ist klar.
Ich fühl mich so übel, schreib morgen Fachabi in Mathe... hätte das doch net über Abendschule machen sollen :((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Herby |
Das kriegen wir heute noch geregelt!
Ich hab übrigens gerade meine Antwort nochmal editiert.
Zuerst Begriffsbestimmung, damit wir nicht aneinander vorbeireden:
Definitionsbereich von [mm] f_{(x)}: [/mm] Das ist eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] , bestehend
aus allen zulässigen Eingaben für x
Wertebereich: Das ist eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] , bestehend
aus allen möglichen Ausgaben von y
Definitionsmenge: Das ist eine Teilmenge des Definitionsbereiches(manchmal auch der gesamte Bereich)
Jetzt zur Festlegung der Definitionsmenge bei Extremwertaufgaben:
1. Die Aufgabenstellung legt die Randbedingungen fest. Hauptbedingung.
2. Mach dir die Nebenbedingungen klar (wovon hängt das Ergebnis ab? In deinem Beispiel von r)
3. Du ermittelst aus der kombinierten Gleichung, die jetzt nur noch eine Variable (bei dir ist es r) hat, den Bereich, der für diese Variable in Frage kommt.
Das macht bei Volumenaufgaben natürlich nur bei positiven Volumen Sinn, sprich bei positivem r (erstmal allg.).
Aber das heißt nicht, dass automatisch jedes positive r auch als Lösung in Frage kommt. In deinem Fall ist die Grundfläche nämlich konstant gewesen, d.h. das r auf einem bestimmten Intervall festgelegt.
Und genau das ist deine Definitionsmenge!
Nun gilt es nur noch zu prüfen, welcher Wert der kombinierten Funktion innerhalb der Definitionsmenge am größten ist (bei deiner Aufgabe!).
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mi 15.06.2005 | | Autor: | the-big |
Ich glaube, wir sprechen jetzt von dem selben und ich kann deinen Ausführungen folgen. Mit sehr grosser Wahrscheinlichkeit wird es bei einer Extremwertaufgabe um einen Flächenberechnung gehen. In dem Fall weiss ich ja jetzt, was zu tun ist. Und das Prinzip hab ich glaub ich auch verstanden, deine Änderung in deiner vorherigen Antwort hat mir das verdeutlich. Vielen Dank auf jeden Fall für deine / eure Bemühungen.
Jetzt müsste ich nur noch die Abschlussprüfung von morgen haben und es würde mir gut gehen
Viele Grüße und 1000 Dank!
the-big
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Herby |
Prima ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
Na dann viel Glück morgen!
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mi 15.06.2005 | | Autor: | the-big |
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