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Hallo,
ich habe eine Definition des Begriffes Testfolge und glaube, an irgendeiner Stelle was falsch zu verstehen. Ich geb mal die Definition wider und erkläre, wo da meine Diskrepanzen liegen:
"Es sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] und es sei a [mm] \in \IR [/mm] (nicht notwendigerweise in D). Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] heißt Testfolge in D für a, wenn alle Glieder [mm] a_n [/mm] in D liegen und [mm] a_n \to [/mm] a für n [mm] \to \infty [/mm] gilt.
a heißt Berührungspunkt von D, wenn es eine Testfolge in D für a gibt.
Demnach ist jedes Element von D ein Berührungspunkt von D; denn ist a [mm] \in [/mm] D, so ist die konstante Folge ^a = [mm] (a)_(n\in\IN) [/mm] eine Testfolge in D für a."
Okay, was ich hieran nicht verstehe ist: Wieso sagt mir die Definition, dass jedes Element von D ein Berührungspunkt von D ist? Wenn ich richtig verstanden habe, müsste JEDER Wert (und zwar ganz gleich, ob er in D ist oder nicht) Berührungspunkt von D sein. Was hat denn schließlich der Definitionsbereich (D) mit dem Umfang des Wertebereichs zu tun. Ich will mal ein Beispiel geben:
Angenommen D = [0, 3]. Wie käme ich jetzt darauf, herauszustellen, dass jedes Element in D (also 0, 1, 2, 3)Berührungspunkt von D ist, wo doch jeder andere Wert auch Berührungspunkt von D ist [mm] (a_n [/mm] = 7633; [mm] a_0 [/mm] = 7633, [mm] a_1 [/mm] = 7633, [mm] a_2 [/mm] = 7633, [mm] a_3 [/mm] = 7633).
Irgendwas sagt mir aber, dass ich etwas an der Definition falsch verstehe. Könnt Ihr mich bitte aufklären?
Danke und Gruß,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mi 18.04.2007 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo sancho1980!
> "Es sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] und es sei a
> [mm]\in \IR[/mm] (nicht notwendigerweise in D). Eine Folge [mm](a_n)[/mm]
> heißt Testfolge in D für a, wenn alle Glieder [mm]a_n[/mm] in D
> liegen und [mm]a_n \to[/mm] a für n [mm]\to \infty[/mm] gilt.
>
> a heißt Berührungspunkt von D, wenn es eine Testfolge in D
> für a gibt.
Du scheinst die Bedingung überlesen zu haben, dass alle [mm] $a_n$ [/mm] der Testfolge zu $D$ gehören müssen. Was nicht in der Menge sein muss ist nur der Wert, gegen den die [mm] $a_n$ [/mm] streben.
Daraus ergibt sich: Ist $x [mm] \in [/mm] D$ so ist die Folge [mm] $a_n [/mm] = x [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_0$ [/mm] eine Testfolge für den Punkt $x$ nach Definition.
Dein Beispiel mit $D = [0,3]$ und der Folge [mm] $a_n [/mm] = 7633$ hinkt aus dem Grund, dass $7633 [mm] \not\in [/mm] [0,3]$ ist und somit Deine Folge nicht die Definition der Testfolge erfüllt.
greetz
AT-Colt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mi 18.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ah, ich glaube jetzt wird mir auch die daraus resultierende Definition der Stetigkeit um einiges klarer:
Es sei [mm] \emptyset \not [/mm] D [mm] \subset \IR [/mm] und a [mm] \in [/mm] D. Eine reele Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] heißt stetig in a, wenn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n) [/mm] = f(a) für jede Testfolge [mm] (a_n) [/mm] in D für a
gilt.
Also, wenn ich das JETZT richtig verstehe, dann ist das EIGENTLICH WICHTIGE an dieser Definition, dass vor allem die Testfolgen, deren Wertebereich mit unendlich hohem n kurz vor a Halt machen, dass wenn man diese Werte mit f "bearbeitet", dass dieser Wert dann auch unendlich nah an f(a) liegen muss. Ist etwas unwissenschaftlich ausgedrückt, aber versteh ich das richtig?
LG,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:38 Do 19.04.2007 | | Autor: | AT-Colt |
Zu beidem ein "ja", das ist unwissenschaftlich ausgedrückt, kommt mir aber richtig vor ^^
Stetigkeit einer Funktion $f$ an einem Punkt $a$ bedeutet, dass jede Folge [mm] $a_n$, [/mm] die gegen $a$ konvergiert, dies quasi auch unter der Funktion tut, also dass [mm] $f(a_n)$ [/mm] gegen $f(a)$ konvergiert. Mit anderen Worten: Du kansnt den Grenzprozess entweder ausserhalb der Funktion durchführen, oder ihn durch die Funktion ziehen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n) [/mm] = f(a)$, wenn a stetig ist.
greetz
AT-Colt
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