Delta bestimmen II < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit an der Stelle xo. Finden Sie dafür zu den jeweils gegebenen epsilon ein passendes delta, so dass für |x-xo|<delta gilt: |f(x)-f(xo)<epsilon
[mm] f:(-5,5)\to\IR, x\mapsto3x-2, [/mm] xo=-2, epsilon = 10^-2 |
| Aufgabe 2 | Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit an der Stelle xo. Finden Sie dafür zu den jeweils gegebenen epsilon ein passendes delta, so dass für |x-xo|<delta gilt: |f(x)-f(xo)<epsilon
[mm] f:\IR(0+) \to\IR(0+), x\mapstox/(x+1), [/mm] x0=1, epsilson = 999^-1 |
Zu Aufgabe 1)
Da ich mir bei diesem Thema noch sehr unsicher bin, wollte ich fragen ob meine Rechnung stimmt:
Sei epsilon = 1/100, delta =
Dann ist für |x-xo|=|x+2|<
[mm] |f(x)-f(xo)|=|x^2+2x|
[mm] |x|*|x+2|
(da |x+2 < delta ist auch |x| < delta)
[mm] delta^2-1/100=0
[/mm]
[mm] \gdw delta^2=1/100
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] delta = 1/10
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so stimmt....
Schon mal vielen Dank im Vorraus.
Wiebke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu Aufgabe 2)
Hier hänge ich leider bei der Rechnung fest und bräuchte einen Tipp, um dort weiter zu kommen...
Was ich bis jetzt habe:
Sei epsilon=1/999, delta=
Dann ist für |x-x0|=|x-1|<delta, also für |x-1|<
|f(x)-f(xo)|=|x/(x+1)-1/2|
Da ich nur weiss, das |x-1|<delta, habe ich versucht, im Zähler auf |x-1| zu kommen... Da kommt dann raus [mm] (x/(x^2-1))*(x-1), [/mm] was mich aber auch nicht wirklich weiter bringt.
Für jeden Tipp wäre ich sehr dankbar.
Gruß,
Wiebke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mi 04.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu1) Wie kommst Du auf [mm] x^2+2x [/mm] ?
Zu2) Wie kommst Du auf
$ [mm] (x/(x^2-1))\cdot{}(x-1), [/mm] $ ?
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Markus_H |
zu 1)
|f(x) - f(x0)| =
|x²+2x+3 - ((-2)² + 2(-2) + 3)| = |x²+2x+3-(4-4+3)| = |x²+2x+3-3| = |x²+2x|.
Müsste doch also stimmen, oder?
zu 2)
hier wurde wohl versucht, auf das Ziel |x-1| < delta zu kommen.
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> zu 1)
> |f(x) - f(x0)| =
> |x²+2x+3 - ((-2)² + 2(-2) + 3)| = |x²+2x+3-(4-4+3)| =
> |x²+2x+3-3| = |x²+2x|.
> Müsste doch also stimmen, oder?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sicher wäre es sinnvoll uns zu verraten, wie die zu bearbeitende Aufgabe lautet.
Um die Aufgabe 1) aus dem Eingangspost scheint es sich ja nicht zu handeln.
Daß |x²+2x+3 - ((-2)² + 2(-2) + 3)| =|x²+2x| ist, stimmt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Markus_H |
Es ging schon um die von Hungry-WiTi gestellte Aufgabe.
Gesucht wird doch Delta, und da gefragt wurde, wie man auf |x²+2x| kommt, habe ich den Rechenweg erläutert.
Aber stimmt denn das Delta von 1/10 wurde doch gefragt bei folgenden Bedingungen:
[mm] |x-x0|<\delta, |f(x)-f(x0)|<\varepsilon
[/mm]
x--> x²+2x+3, x0=-2, [mm] \varepsilon [/mm] = 1/100
Und da hat Hungry-WiTi raus: [mm] \delta [/mm] = 1/10
Der Rechenweg steht ja oben und ist für mich nachvollziehbar, aber 100% sicher bin ich mir nicht.
Für Delta ergeben sich eigentlich zwei Lösungen: +/- 1/10, aber da neg. Sachen ausgeschlossen werden, bleibt 1/10.
Stimmt das denn?
Und bei der zweiten Aufgabe komme ich selbst auch nicht weiter.
Wäre schön, wenn man sich nochmal an die ursprüngliche Fragestellung halten könnte.
Danke.
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> Es ging schon um die von Hungry-WiTi gestellte Aufgabe.
> Gesucht wird doch Delta, und da gefragt wurde, wie man auf
> |x²+2x| kommt, habe ich den Rechenweg erläutert.
Hallo,
also irgendwie ist mir die Sache unheimlich...
Du und Hungry-WiTi, Ihr scheint beide irgendeine Funktion zu sehen, die für Fred und mich im Verborgenen bleibt.
Hungry-WiTis Funktion in der ersten Aufgabe ist doch f(x)=3x-2. (!?)
Du rechnest mit f(x)=x²+2x+3, das kann man machen, es ist dann aber eine andere Aufgabe. (Und es erklärt nicht, wo Hungry-WiTis Quadrat herkommt und warum Du Dich darüber nicht wunderst.)
Na, egal.
Du jedenfalls bearbeitest jetzt f(x)=x²+2x+3 an der Stelle -2 .
> Gesucht wird doch Delta,
Ja, und [mm] \varepsilon=1/100 [/mm] ist vorgegeben.
> und da gefragt wurde, wie man auf
> |x²+2x| kommt, habe ich den Rechenweg erläutert.
> Aber stimmt denn das Delta von 1/10 wurde doch gefragt bei
> folgenden Bedingungen:
> [mm]|x-x0|<\delta, |f(x)-f(x0)|<\varepsilon[/mm]
> x--> x²+2x+3,
> x0=-2, [mm]\varepsilon[/mm] = 1/100
> Und da hat Hungry-WiTi raus: [mm]\delta[/mm] = 1/10
> Der Rechenweg steht ja oben und ist für mich
> nachvollziehbar, aber 100% sicher bin ich mir nicht.
> Für Delta ergeben sich eigentlich zwei Lösungen: +/- 1/10,
> aber da neg. Sachen ausgeschlossen werden, bleibt 1/10.
> Stimmt das denn?
Die Lösung Deiner Kollegin ist völlig abstrus aus dem Grund, weil ihre Rechnung nicht zur von ihr genannten Funktion paßt, und es ist müßig, weiter darüber nachzudenken.
Du wärest jetzt an dem Punkt, an welchem [mm] |x^2+2x| [/mm] abgeschätzt werden muß.
[mm] |x^2+2x| [/mm] =|x|*|x+2| [mm] \le|x|* \delta [/mm]
Nun solltest Du noch das x abschätzen. Wenn es der Menge mit [mm] |x+2|<\delta [/mm] entstammt, wie groß kann dann |x| höchstens sein? (Ich mache mir in diesen Fällen sicherheitshalber ein kleines Bildchen.)
Damit landest Du bei [mm] ...*\delta [/mm] < 1/100.
Nun biege Dir Dein [mm] \delta [/mm] zurecht.
Es kommen nur positive [mm] \delta [/mm] infrage, da ja ein Betrag durch [mm] \delta [/mm] begrenzt wird.
Es gibt - falls Dir das nicht klar ist - immer sehr viele [mm] \delta, [/mm] die diese Aufgabe lösen. wenn Du eins gefunden hast, tut es jedes kleinere auch.
>
> Und bei der zweiten Aufgabe komme ich selbst auch nicht
> weiter.
> Wäre schön, wenn man sich nochmal an die ursprüngliche
> Fragestellung halten könnte.
Wie weit bist Du denn gekommen?
Was hast Du für |f(x)-f(1)| ausgerechnet?
An welcher Stelle kommst Du nicht weiter?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Markus_H |
Also dann nochmal zur Frage2:
f: R0+ --> R0+,
x-->x/(1+x)
x0=1
[mm] \varepsilon [/mm] = 999^-1
[mm] |x-x0|<\delta
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x0)|<\varepsilon
[/mm]
|f(x)-f(x0)|= |x/(1+x) - 1/2)| <1/999
Und nun?
Das Ziel ist ja: [mm] |x-1|<\delta
[/mm]
Ich würde die 1/2 rüberholen:
x/(x+1)<1001/1998
(Beträge weg, da xR0+)
1- 1/(x+1) < 1001/1998
1/(x+1) > 1 1001/1998
x-1/(x+1)(x-1) > 1 1001/1998
???
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Hallo Markus,
ich würde es so angehen:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=\left|\frac{x}{x+1}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{2x-(x+1)}{2(x+1)}\right|=\left|\frac{x-1}{2(x+1)}\right|=\frac{1}{2}\cdot{}|x-1|\cdot{}\frac{1}{|x+1|}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}|x-1|\cdot{}\frac{1}{x+1}$, [/mm] da $x+1>0$ wegen [mm] $x\in\IR^{\ge 0}$
[/mm]
Und genau wegen [mm] $x\ge [/mm] 0$ ist doch [mm] $x+1\ge [/mm] 1$, also [mm] $\blue{\frac{1}{x+1}\le 1}$
[/mm]
Also kannst du den letzten Term abschätzen durch:
[mm] $\frac{1}{2}\cdot{}|x-1|\cdot{}\blue{\frac{1}{x+1}\le}\frac{1}{2}\cdot{}|x-1|\cdot{}\blue{1}=\frac{1}{2}\cdot{}|x-1|$
[/mm]
Und das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, wähle also [mm] $\delta:=2\varepsilon$
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] $x\in\IR^{\ge 0}$ [/mm] mit [mm] $|x-1|<\delta$:
[/mm]
[mm] $|f(x)-f(1)|=...\le\frac{1}{2}\cdot{}|x-1|<\frac{1}{2}\cdot{}2\varepsilon=\varepsilon$
[/mm]
LG
schachuzipus
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