Der Raum C vereinigt unendlich < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe hier ein paar Verständnisfragen zu [mm] \mathbb{P}^1, [/mm] die ich mir wegen fehlender Topologiekenntnisse oder weil ich mir zu unsicher bin nicht selbst beantworten kann.
[mm] \mathbb{P}^1:=\IC\cup \{\infty \} [/mm] wird zu einem topologischen Raum, indem man die Topologie auf [mm] \mathbb{P}^1 [/mm] einführt: Die offenen Mengen seien einerseits die üblichen offenen Mengen in [mm] \IC [/mm] und andererseits die Mengen [mm] V\cup \{ \infty \}, [/mm] wobei V das Komplement einer kompakten Menge in [mm] \IC [/mm] ist.
1)
Erstmal dazu eine Frage:
Ich habe gelesen, dass es die Einpunktkompaktifizierung von [mm] \IC [/mm] ist und dass es ein allgemeineres Konzept ist. Mir ist aber nicht ganz klar, woher dieses " [mm] V\cup \{\infty\}, [/mm] wobei V das Komplement einer kompakten Menge in [mm] \IC" [/mm] herkommt, bzw wieso man das nehmen muss.
Es geht weiter: [mm] \mathbb{P}^1 [/mm] ist ein Hausdorffraum.
Seien [mm] \mathbb{P}^1\backslash \{ \infty\}=\IC=:U_1 [/mm] und [mm] \mathbb{P}^1\backslash \{0\}=\IC^* \cup {0}=:U_2 [/mm] . Da [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] zusammenhängend sind und nichtleeren Schnitt haben, ist [mm] \mathbb{P}^1 [/mm] zusammenhängend.
2. Frage: Wieso ist [mm] U_2 [/mm] zusammenhängend?
Die Abbildungen [mm] \phi_1:U_1 \to \IC [/mm] ist die Identität und [mm] \phi_2:U_2 \to \IC [/mm] mit [mm] x\mapsto \begin{cases} \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in \IC \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=\infty \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
sind Homöomorphismen. Deshalb ist [mm] \mathbb{P}^1 [/mm] eine 2-dim. Mannigfaltigkeit.
3. Frage: Wie zeigt man, dass [mm] \phi_2 [/mm] stetig ist, also was für offene Mengen nimmt man da genau? In [mm] \IC [/mm] ist klar, aber in [mm] \mathbb{P}^1\backslash \{0\}? [/mm] ( ich hänge hier glaube ich wegen Frage 1)
Und wegen den Homöomorphismen ist [mm] \mathbb{P}^1 [/mm] eine Mannigfaltigkeit?
4.Aber wie zeigt man jetzt noch die Hausdorffeigenschaft?
Ich würd mich über Hilfe sehr freuen!
MFG
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> Hi,
> ich habe hier ein paar Verständnisfragen zu [mm]\mathbb{P}^1,[/mm]
> die ich mir wegen fehlender Topologiekenntnisse oder weil
> ich mir zu unsicher bin nicht selbst beantworten kann.
>
> [mm]\mathbb{P}^1:=\IC\cup \{\infty \}[/mm] wird zu einem
> topologischen Raum, indem man die Topologie auf
> [mm]\mathbb{P}^1[/mm] einführt: Die offenen Mengen seien einerseits
> die üblichen offenen Mengen in [mm]\IC[/mm] und andererseits die
> Mengen [mm]V\cup \{ \infty \},[/mm] wobei V das Komplement einer
> kompakten Menge in [mm]\IC[/mm] ist.
>
> 1)
> Erstmal dazu eine Frage:
> Ich habe gelesen, dass es die Einpunktkompaktifizierung
> von [mm]\IC[/mm] ist und dass es ein allgemeineres Konzept ist. Mir
> ist aber nicht ganz klar, woher dieses " [mm]V\cup \{\infty\},[/mm]
> wobei V das Komplement einer kompakten Menge in [mm]\IC"[/mm]
> herkommt, bzw wieso man das nehmen muss.
>
> Es geht weiter: [mm]\mathbb{P}^1[/mm] ist ein Hausdorffraum.
> Seien [mm]\mathbb{P}^1\backslash \{ \infty\}=\IC=:U_1[/mm] und
> [mm]\mathbb{P}^1\backslash \{0\}=\IC^* \cup {0}=:U_2[/mm] . Da [mm]U_1[/mm]
> und [mm]U_2[/mm] zusammenhängend sind und nichtleeren Schnitt
> haben, ist [mm]\mathbb{P}^1[/mm] zusammenhängend.
>
> 2. Frage: Wieso ist [mm]U_2[/mm] zusammenhängend?
>
> Die Abbildungen [mm]\phi_1:U_1 \to \IC[/mm] ist die Identität und
> [mm]\phi_2:U_2 \to \IC[/mm] mit [mm]x\mapsto \begin{cases} \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in \IC \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=\infty \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> sind Homöomorphismen. Deshalb ist [mm]\mathbb{P}^1[/mm] eine 2-dim.
> Mannigfaltigkeit.
>
> 3. Frage: Wie zeigt man, dass [mm]\phi_2[/mm] stetig ist, also was
> für offene Mengen nimmt man da genau? In [mm]\IC[/mm] ist klar,
> aber in [mm]\mathbb{P}^1\backslash \{0\}?[/mm] ( ich hänge hier
> glaube ich wegen Frage 1)
> Und wegen den Homöomorphismen ist [mm]\mathbb{P}^1[/mm] eine
> Mannigfaltigkeit?
>
> 4.Aber wie zeigt man jetzt noch die Hausdorffeigenschaft?
Hallo Schachtel5,
ich möchte dir nur kurz einen Hinweis dazu geben,
wie man diese Topologie anschaulich begreifen kann.
Man bildet einfach die komplexe Ebene durch eine
stereographische Projektion auf eine Kugelfläche
ab. Dabei bleibt ein Punkt ("Pol") der Kugelfläche
unbenutzt. Nun nimmt man diesen Punkt noch
dazu und ordnet ihm einen Punkt [mm] "\infty" [/mm] zu, den
man der Menge [mm] \IC [/mm] noch zufügt.
Die Topologie auf der komplettierten Kugelfläche
ist dann die ganz gewöhnliche.
LG , Al-Chw.
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Hi, danke. was meinst du mit "Die Topologie auf der komplettierten Kugelfläche ist dann die ganz gewöhnliche?"
Also ich verstehe die Topologie hier leider nicht ganz =(
In meinem Startbeitrag hab ich mich ein wenig verhäddert, ich verstehe jetzt noch nicht, wieso [mm] \mathbb{P}^1 [/mm] ein Hausdorffraum ist. Wieso dann [mm] \mathbb{P}^1 [/mm] eine Mannigfaltigkeit ist, verstehe ich jetzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Do 28.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi, danke. was meinst du mit "Die Topologie auf der
> komplettierten Kugelfläche ist dann die ganz
> gewöhnliche?"
> Also ich verstehe die Topologie hier leider nicht ganz =(
Al meint die Topologie, die Du bekommst, wenn Du die Euklidische Metrik (auf [mm] \IR^3) [/mm] einschränkst auf die Riemannsche Zahlenkugel.
FRED
>
> In meinem Startbeitrag hab ich mich ein wenig verhäddert,
> ich verstehe jetzt noch nicht, wieso [mm]\mathbb{P}^1[/mm] ein
> Hausdorffraum ist. Wieso dann [mm]\mathbb{P}^1[/mm] eine
> Mannigfaltigkeit ist, verstehe ich jetzt.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Do 28.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Al:
Auf $ [mm] \mathbb{P}^1:=\IC\cup \{\infty \} [/mm] $ führt man dann die "chordale Metrik" ein:
http://www.schelklingen2000.werner-knoben.de/HTMLDoku/node5.html
FRED
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