Det. hermitescher Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Di 23.06.2009 | | Autor: | Poppcorn |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Papula (Mathe-Lehrbuch für Ingenieure) steht, dass die Determinante einer hermiteschen Matrix immer reell ist. Mich würde der (dort nicht angegebene) Beweis für diese Behauptung interessieren. Macht man das "irgendwie" über die Leibniz-Formel?
Dank und Viele Grüße
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Hallo Poppcorn und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Im Papula (Mathe-Lehrbuch für Ingenieure) steht, dass die
> Determinante einer hermiteschen Matrix immer reell ist.
> Mich würde der (dort nicht angegebene) Beweis für diese
> Behauptung interessieren. Macht man das "irgendwie" über
> die Leibniz-Formel?
$A$ heißt ja hermitesch, falls [mm] $A=\overline{A^T}$
[/mm]
Die Determinante einer komplex konjugierten Matrix ist gleich dem komplex Konjugierten der Determinante der Matrix, also [mm] $\overline{det(A)}=det\left(\overline{A}\right) [/mm] \ \ [mm] (\star)$
[/mm]
Außerdem ist [mm] $det(A)=det\left(A^T\right) [/mm] \ \ [mm] (\star\star)$
[/mm]
Also [mm] $\red{det(A)}=det\left(\overline{A^T}\right)$, [/mm] da A hermitesch
[mm] $\overset{(\star)}{=}\overline{det\left(\overline{\overline{A^T}}\right)}=\overline{det\left(A^T\right)}$, [/mm] denn [mm] $\overline{\overline{B}}=B$
[/mm]
[mm] $\overset{(\star\star)}{=}\red{\overline{det(A)}}$
[/mm]
Bezeichne nun die [mm] $\red{det(A)=\lambda=x+iy}$, [/mm] so gilt also
[mm] $\red{\lambda=\overline{\lambda}}$, [/mm] also ....
>
> Dank und Viele Grüße
LG
schachuzipus
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