Det per Zeilenumformungen ber. < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 04.02.2015 | | Autor: | eva4eva |
Hallo,
mir geht es darum, wie man Det fernab von Laplace, Sarrus gut berechnen kann. Insbes. im Falle der Ermittlung des charakt. Polynoms:
Angenommen ich habe meine "Lambda-Matrix", so kann ich doch das ganze wie ein LGS behandeln im Sinne dessen, dass ich Zeilenumformungen vornehme, oder?
Das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren ändert die Det nicht.
Kann ich denn auch eine Zeile durch lambda teilen?
Ziel hierbei wäre z B Dreiecksform zu erreichen. Oder Zeilen/Spalten mit mögl. vielen Nullen für Laplace.
Nun lese ich bei Beutelspacher, es gingen auch Spaltenumformungen. Dabei steht z B noch, dasss man eine Spalte mit einem Körperelement k durchmultiplizieren kann, wobei dann nachher "k*det" gilt.
Tauschen von Spalten ändert die Det um Faktor -1
Wenn ich also durchmultipliziere und zu einer anderen Spalte addiere, ändert sich die det nicht - wenn ich nur durchmultipliziere jedoch schon?
Gelten denn alle genannnten Operationen mit ihrem spez. Einfluss auf die Änderung des Wertes der Det analog für Zeilen- und Spaltenoperationen?
Mir kommt in den Sinn, dass dies der Fall sein müsste, denn es ist ja [mm] det(M)=det(M^T)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mi 04.02.2015 | | Autor: | huddel |
Hey eva4eva,
Du weißt doch sicherlich, dass wenn du zwei [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen $ A,B$ hast, dann gilt $det(A [mm] \cdot [/mm] B) = det(A) [mm] \cdot [/mm] det(B)$ (zwar werden, soweit ich weiß, für den Beweis dessen die Aussagen, die Beutelpacher macht, genutzt. Aber das ändert ja nichts an der Tatsache)
Nun ist es ja so, dass eine Zeilentransformation nach dem Gaus-Verfahren nichts anders als ein ranmultiplizieren von bijektiven Matrizen ist. Das heißt du kannst dir mal überlegen, welche Matrizen für einen Spaltentausch, welche für die Addition zweier Zeilen und welche für die Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar notwendig sind und dir damit herleiten, wie sich die Determinante ändert, wenn du die Zeilen umformst.
Um es zusammen zu fassen: Ja alles was du geschrieben hast ist soweit richtig, auch mit der Transponierten. folgt im Grunde alles aus der obrigen Argumentation :)
Um auf deine Verwirrung bzgl. dem multiplizieren zu kommen: bei diesem Schritt multiplizierst du ja nicht eine Zeile mit einem Wert durch, sondern addierst euf eine Zeile das $ x $-fache einer anderen Zeile. du hast zwar in der Umformungsmatrix nachher einen wert $ x $ stehen, der fällt aber bei der Berechnung der Determinante komplett raus. Probiers mal aus und rechne es aus. Ich denke, dann wird dir klar, was passiert :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 05.02.2015 | | Autor: | eva4eva |
Hallo, danke für die Antwort.
Ich versuche mich gerade mit den Matrizen auseinanderzusetzen, die die Zeilen-/Spaltenumformungen bewirken.
Habe das bisher nur für Zeilenumformungen gesehen.
Dabei faellt mir auf:
Für Zeilenumformungen (ZU) muss die ZU bewirkende Matrix von LINKS an die umzuformende Matrix ranmultipliziert werden, für SPALTEN von RECHTS. Kann das sein? Ich sehe keinen anderen Weg...
Sei geg eine 3x3-Matrix [mm] A=\pmat{ -x & -1 & 1 \\ -3 & -2-x & 3\\ -2 & -2 & 3-x }, [/mm] zu welcher die Determinante zwecks Eigenwertbestimmung gesucht ist.
Ich möchte nun mittels
- 1. Matrix [mm] U_1 [/mm] die 3. Spalte zur ersten addieren
- 2. Matrix [mm] U_2 [/mm] die erste Zeile von der 3. Zeile abziehen
- 3. Matrix [mm] U_3 [/mm] das (1/(2-x))-fache der 3. Spalte zu Spalte 2 addieren.
Die det(A) sollte sich dabei nicht verändern.
Sieht das dann so aus: (?)
1. [mm] A*U_1
[/mm]
2. [mm] U_2*(A*U_1)
[/mm]
3. [mm] (U_2*(A*U_1))*U_3
[/mm]
mit
[mm] U_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] U_2=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] U_3=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & (1/(2-x)) }
[/mm]
Dann sollte doch eine einzige Matrix U alles das auf ein Mal erledigen, oder?
Wie sieht die aus? Da komme ich mit dem "von links und von rechts ranmultiplizieren" etwas durcheinander.
[mm] (U_2*U_1)*U_3=U
[/mm]
Würde das klappen, sodass
[mm] (U_2*(A*U_1))*U_3=UA [/mm] ?
(ich könnte es ausrechnen, aber ich vermute auch so, dass es Unsinn ist)
Oder kann man nur alle von links ranmultplizierten einerseits und alle von rechts ranmultiplizierten Matrizen zu einer Matrix zusammenfassen?
[d h seien alle ZU-bewirkenden Matrizen [mm] Z_n [/mm] zusammengefasst in Matrix Z und alle Spaltenumformungen (SU) bewirkenden Matrizen [mm] S_n [/mm] zusammengefasst in Matrix S. Kann man dann im geg. Bsp. und in jedem anderen Fall schreiben [mm] (U_2*(A*U_1))*U_3= [/mm] ZAS ? Auch das kann fast nicht sein, denn die Reihenfolge der Operationen (hier: erst SU, dann ZU, dann wieder SU) spielt doch auch eine Rolle. ]
Jedenfalls komme ich mit meinen Umformungen auf
[mm] det\pmat{ -x & -1 & 1 \\ -3 & -2-x & 3\\ -2 & -2 & 3-x }=det\pmat{ 1-x & ... & ... \\ 0& (x^2-1)/2-x & ... \\ 0 & ... & 2-x }=(1-x)(x^2-1)
[/mm]
mit 3fachem Eigenwert 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Do 05.02.2015 | | Autor: | huddel |
Hey eva4eva,
Du hast da schon recht, du SU sind Matrizen von rechts, ZU von links. Wenn du es dir überlegt, ergibt das auch Sinn, da Zeilen und Spaltenumformungen demzufolge assoziativ ablaufen sind also nicht wirklich beeinflussen. überleg dir doch mal, was passiert wenn du drei Matrizen $ A, B, C $ hast $ (A [mm] \cdot [/mm] B) [mm] \cdot [/mm] C $ und dann $ A [mm] \cdot [/mm] (B [mm] \cdot [/mm] C)$ ausrechnest und überleg dir, was passiert, wenn du eine Zeilen und eine Spaltenumformung durchführen möchtest, ob es eine Rolle spielt, mit was du dabei anfängst.
Damit ergibt sich auch, dass du nicht eine Matrix $ U $ bauen kannst, die Spalten und Zeilenumformungen übernimmt. Wie du schon bemerkt hast, sind das dann zwei verschiedene, die von links und rechts dran multipliziert werden. Und wie gesagt, die Reihenfolge spielt in diesem Fall nettwerweise keine Rolle.
Die Matrizen [mm] $U_2$ [/mm] und [mm] $U_3$ [/mm] stimmen so nicht ganz. Bei [mm] $U_2$ [/mm] ADDIERST du die 3. Zeile auf die 1. und nicht umgekehrt.
Bei Matrix [mm] $U_3$ [/mm] lässt du die erste Spalte unverändert, in Spalte 2 addierst du alle 3 Spalten zusammen und Spalte 3 multiplizierst du komplet mit [mm] $\frac{1}{2-x}$ [/mm] durch.
Die Determinante wird dadurch zwar auch nicht verändert und du hast nachher die richtigen Umformungen gemacht, aber gucks dir am besten nochmal kurz an :)
Bei der Matrix am ende hast du im unteren mittleren Eintrag ein $ ... $ stehen. Ist nicht falsch, wäre aber sinniger da eine $ 0 $ rein zu schreiben, da dann klar ist, wie dein Ergebnis zustande kommt.
Sonst sieht das doch super aus :)
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