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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 So 12.08.2007 | | Autor: | simson |
| Aufgabe | Man berechne
[mm]
\vmat{ 1 & 0 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 2 & 1\\ -3 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & -1}
[/mm] |
Hallo,
Kann mir jemand ein Rezept zum berechnen dieser Determinante geben ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 So 12.08.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
benutze einfach die Regel von Sarrus.
Schreibe hinter deine Matrix nochmals die ersten drei Spalten.
[mm] \vmat{ 1 & 0 & -1 & 2&1&0&-1\\ 2 & 1 & 2 & 1&2&1&2\\ -3 & 1 & 0 & 1&-3&1&0\\ 2 & 2 & 0 & -1&2&2&0\\}
[/mm]
Nun multiplizierst du diagonal indem du links oben anfängst und dann diagonal nach unten gehst. Das selbe machst du mit den anderen Diagonalen, bis du rechts unten angekommen bist. Dann subtrahierst du davon die anderen drei Produkte von rechts oben nach links unten.
So kann man das mit jeder quadratischen Matrix machen.
Zum genauen Verständnis schau dir den Artikel hier an, dann verstehst du wie man es genau macht.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 So 12.08.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
aber Achtung, Deine Regel gilt nur für 3x3 Matrix oder 2x2. Entwickle die Matrix nach der Spalte/ Zeile, in der die meisten Nullen enthalten sind, siehe hier .
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 So 12.08.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
habe auch gerade meinen Fehler bemerkt. Habe nicht bedacht das du ja hier eine 4x4 Matrix hast. Dann mach es so wie Steffi sagt.
Sorry, war wohl geistig ein wenig abwesend.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 12.08.2007 | | Autor: | simson |
Habe mir das Beispiel angesehen und kann es nicht übertragen.
Weiß nicht wie ich anfangen soll.
Bräuchte eine genauere Hilfestellung.
Vielen Dank
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Hallo simson,
mit Steffis Tipp bietet sich doch die Entwicklung nach der 3.Spalte an:
Google mal nach "Laplace'scher Entwicklungssatz"
[mm] $det\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 2 & 1\\ -3 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & -1}=\sum\limits_{k=1}^4(-1)^{k+3}\cdot{}a_{k3}\cdot{}det\left(A_{k3}\right)$
[/mm]
wobei [mm] A_{k3} [/mm] durch Streichen der 3.Spalte und k.Zeile entsteht
Also
[mm] $det\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 2 & 1\\ -3 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & -1}=(-1)^{\red{1}+3}\cdot{}(-1)\cdot{}det\pmat{ 2 & 1 & 1\\ -3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -1}+(-1)^{\red{2}+3}\cdot{}2\cdot{}det\pmat{ 1 & 0 & 2\\ -3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -1}+(-1)^{\red{3}+3}\cdot{}0\cdot{}det\pmat{ 1 & 0 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -1}+(-1)^{\red{4}+3}\cdot{}0\cdot{}det\pmat{ 1 & 0 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ -3 & 1 & 1}$
[/mm]
[mm] $=(-1)^{4}\cdot{}(-1)\cdot{}det\pmat{ 2 & 1 & 1\\ -3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -1}+(-1)^{5}\cdot{}2\cdot{}det\pmat{ 1 & 0 & 2\\ -3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -1}=....$
[/mm]
Die Determinanten der [mm] $3\times [/mm] 3$ - Matrizen kannst du dann mit der Regel von Sarrus berechnen... (s. 1.post von clwoe)
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
ergänzend zu schachuzipus noch dies(weil's so schön rot ist).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 So 12.08.2007 | | Autor: | simson |
habe es mal probiert:
[mm]
\vmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & -1[/mm]
[mm]
\pmat{ + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + }
[/mm]
[mm]
det= + 1* \vmat{ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 } -2* \vmat{ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 } -3*\vmat{ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 }-2*\vmat{ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
[mm]
\Rightarrow det= \vmat{ 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 } - \vmat{ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 0 & -2 }-\vmat{ 0 & -3 & 6 \\ 3 & 6 & 3 \\ 6 & 0 & -3 }-\vmat{ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 2}[/mm]
[mm]
det = (1*0*-1)+(1*0*1)+(2*2*1)-(1*0*2)-(1*0*1)-(-1*2*1)=6[/mm]
[mm]
det = (0*0*-2)+(2*0*4)+(4*-2*2)-(4*0*4)-(2*0*0)-(-2*-2*2)=-24[/mm]
[mm]
det = (0*6*-3)+(3*0*6)+(6*-3*3)-(6*6*6)-(3*0*0)-(-3*-3*3)=-297[/mm]
[mm]
det = (0*4*2)+(2*0*4)+(2*-2*2)-(4*4*2)-(2*0*0)-(2*-2*2)=-32[/mm]
[mm]
\Rightarrow 6+24+297+32=359[/mm]
Bitte korrigieren wenn ich falsch liege.
Vielen Dank
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Hallo simson,
die erste Zeile deiner Rechnung stimmt, danach stimmt was nicht.
Du darfst die Faktoren vor der Determinante nicht in [mm] \underline{alle} [/mm] Zeilen reinziehen, sondern nur in jeweils eine einzige.
Wenn zB bei der 2.Determinante der Vorfaktor [mm] 8=2^3 [/mm] stünde, dürftest du die 2 in jede der 3 Zeilen reinziehen....
Man darf nämlich umgekehrt einen gemeinsamen Faktor [mm] \lambda [/mm] in einer Zeile (oder Spalte) rausziehen, kommt der Faktor in allen 3 Zeilen (oder Spalten) vor, kannst du ihn dementsprechend 3fach rausziehen , also [mm] \lambda^3
[/mm]
Um allen Irrungen vorzubeugen, kannst du ja die Faktoren (-2,-3,-2) stehenlassen und nachher an die berechneten Determinanten dranmultiplizieren
Also alles in allem ist dein Ansatz zwar richtig (Entwicklung nach der 1.Spalte), vom Rechenaufwand ist es aber um Längen besser, wenn du nach der [mm] \underline{\text{3.Spalte}} [/mm] entwickelst, weil dort 2 Nullen stehen, so dass du effektiv nur die Determinante zweier [mm] $3\times [/mm] 3$ - Matrizen ausrechnen musst.
Ich empfehle, nochmal meinen anderen post oben zu lesen und von dort weiterzurechnen.
Als Ergebnis für die Determinante sollte 53 rauskommen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Mo 13.08.2007 | | Autor: | simson |
ok danke, werde es mir morgen noch mal vornehmen.
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