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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Di 11.01.2005 | | Autor: | Marsei |
Ich habe folgendes Problem ich soll berechnen, welche der drei definierenden Eigenschaften einer Determinante für die folgenden Funktionen [mm] f_k: [/mm] M_3x3 ( [mm] \IR) \mapsto \IR
[/mm]
jeweils erfüllt sind.
a) [mm] f_1 [/mm] (A) := a_11 + a _22 + a_33
b) [mm] f_2 [/mm] (A) := a_11 * a_22 * a_33
Ich weiß dass, das die Determinanteneigenschaften folgende sind,
1) linear in jeder Zeile
2) Ist der Zeilenrang < 0 => det A = 0
3) det E = 1
aber mehr als diesen Ansatz habe ich leider nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg Marsei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi Marsei,
du musst folgendes machen:
nimm dir eine allgemeine Matrix $ [mm] A=\pmat{ a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\a_7 & a_8 & a_9 }=\vektor{a_I \\a_{II} \\a_{III}} [/mm] $
wobei $ [mm] a_I [/mm] $ der erste ZEILENvektor von A ist !
und dann überprüfe deine 3 eigenschaften für jedes f mit:
1) gilt für JEDE Zeile : $ [mm] f(\vektor{a_I +a'_I\\a_{II} \\a_{III}})=f(\vektor{a_I \\a_{II} \\a_{III}})+f(\vektor{a'_I \\a_{II} \\a_{III}}) [/mm] $ ?
2) ist der Zeilenrang von A<0 => f(A)=0 ?
3) ist f(E)=1 ?
Tipps:
für 3) reicht natürlich immer einsetzen und ausprobieren.
bei a) für 1) und 2) Gegenbeispiele finden
bei b) für 2) Gegenbeispiel und für 1) einen allgemeinen Beweis.
hoffe das hilft schonmal - schreib mal, wie weit du kommst.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Di 11.01.2005 | | Autor: | Marsei |
also für die beiden letzten Sachen habe ich keine Probleme:
iii) det (E) = 1
a) [mm] f_{1} [/mm] (E) = 3 => Eigenschaft ist nicht erfüllt
b) [mm] f_{2} [/mm] (E) = 1 => Eigenschaft ist erfüllt
ii) Rang (A) < n => det A = 0
a) Sei A:= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] => Rg (A) = 1 < n =3 aber [mm] f_{1} [/mm] (A) = 1 => nicht erfüllt
b) Sei A eine Matrix mit Rg (A) < n => A kann mit Hilfe von elementaren ZEilenumformung auf die Form gebracht werden, so dass A eine Nullzeile besitzt => Sei o.E. die erste Zeile = der Nullzeile => [mm] f_{2} [/mm] (A) = 0 * [mm] a_{5} [/mm] * [mm] a_{9} [/mm] = 0 => Eigenschaft ist erfüllt.
Wie gesagt Linearität habe ich irgendwie nicht so richtig gefressen :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Marsei,
zuerst muss ich gestehen, dass ich oben bei einem Tipp ein wenig geschlampt habe - sowohl bei a) als auch bei b) ist die Eigenschaft 1) erfüllt !
Aber die Eigenschaft 2) bei keiner !
> b) Sei A eine Matrix mit Rg (A) < n => A kann mit Hilfe
> von elementaren ZEilenumformung auf die Form gebracht
> werden...
Dann musst du aber noch zeigen, dass du diese Umformungen einfach so machen darfst .... (Was du natürlich nicht darfst)
Aber ich bin mir sicher, dass dir ein Gegenbeispiel einfällt, wo das Produkt der Diagonalelemente nicht 0 ist, aber die Matrix dennoch nicht vollen Rang hat (gleiche Vektoren als Spalten?)
zur linearität reicht es o.E. die erste Zeile zu betrachten:
was ist dann (bei a)) : $ [mm] f_1 (\pmat{ a_1 + a'_1 & a_2 + a'_2 & a_3 + a'_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\a_7 & a_8 & a_9 }) [/mm] $
und was $ [mm] f_1 (\pmat{ a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\a_7 & a_8 & a_9 })+f_1 (\pmat{ a'_1 & a'_2 & a'_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\a_7 & a_8 & a_9 }) [/mm] $ ?
ist es gleich?
analog bei der b) vorgehen...
viele Grüße
DaMenge
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