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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 11.05.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IR^{n\times{n}}, b,c\in\IR^n [/mm] und [mm] d\in\IR.
[/mm]
Zeige,
[mm] H=\pmat{ A & b \\ c^T & d } [/mm] invertierbar (regulär), wenn [mm] d-c^TA^{-1}b\not=0.
[/mm]
A ist invertierbar! |
Hi,
soweit bin ich:
[mm] det(H)=det\pmat{ A & b \\ c^T & d }=A*d-c^T*b
[/mm]
[mm] A*d-c^T*b\not=0\gdw{A*d\not=c^T*b}\gdw{d\not=A^{-1}*c^T*b}\gdw{d-A^{-1}*c^T*b\not=0}
[/mm]
Das [mm] A^{-1} [/mm] steht jedoch jetzt an der falschen Stelle. Und "so eben mal das [mm] A^{-1} [/mm] eins nach rechts rücken" ist ja nicht möglich. 
Was mache ich falsch?
MfG barsch
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Hallo barsch,
> Sei [mm]A\in\IR^{n\times{n}}, b,c\in\IR^n[/mm] und [mm]d\in\IR.[/mm]
>
>
> Zeige,
>
> [mm]H=\pmat{ A & b \\ c^T & d }[/mm] invertierbar (regulär), wenn
> [mm]d-c^TA^{-1}b\not=0.[/mm]
>
> A ist invertierbar!
> Hi,
>
> soweit bin ich:
>
> [mm]det(H)=det\pmat{ A & b \\ c^T & d }=A*d-c^T*b[/mm]
>
> [mm]A*d-c^T*b\not=0\gdw{A*d\not=c^T*b}\gdw{d\not=A^{-1}*c^T*b}\gdw{d-A^{-1}*c^T*b\not=0}[/mm]
>
> Das [mm]A^{-1}[/mm] steht jedoch jetzt an der falschen Stelle. Und
> "so eben mal das [mm]A^{-1}[/mm] eins nach rechts rücken" ist ja
> nicht möglich.
>
> Was mache ich falsch?
Ich glaube Du mußt das etwas anders machen:
Sei [mm]Y\in\IR^{n\times{n}}, u,v\in\IR^n[/mm] und [mm]z\in\IR.[/mm]
Dann mußt Du rechnen:
[mm]\pmat{ A & b \\ c^T & d }*\pmat{Y & v \\ u^{T} & z}=\pmat{I_{n} & 0_{n} \\ 0_{n}^{T} & I_{1}}[/mm]
[mm]\pmat{Y & v \\ u^{T} & z}*\pmat{ A & b \\ c^T & d }=\pmat{I_{n} & 0_{n} \\ 0_{n}^{T} & I_{1}}[/mm]
,wobei [mm]I_{n}[/mm] die Einheitsmatrix im [mm]\IR^{n \times n}[/mm],
[mm]0_{n}[/mm] der Nullvektor im [mm]\IR^{n}[/mm], [mm]I_{1}[/mm] die Einheit in [mm]\IR[/mm] bedeuten.
>
> MfG barsch
Gruß
MathePower
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