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| Aufgabe | Hallo, die Aufgabenstellung lautet:
Es sei A [mm] \in [/mm] Mat(n, n;R) eine Matrix mit Koeffizienten a_ij = [mm] 1-\delta_ij.
[/mm]
Beweisen Sie, dass det(A) = (-1)^(n-1) * (n-1). |
Ich habe das mal ausgerechnet für n=3 und n=7_die Formel für die Determinante stimmt auf jeden Fall_ich vermute, dass ich durch eine Induktion zeigen muss, dass die Formel stimmt_aber dazu fehlt mir der Ansatz_kann mir jemand einen Ansatz geben?
Danke.
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Hallo!
Ich glaube auch, dass die Aufgabe sehr nach Induktion klingt 
Ich vermute, dass sich bei Induktion der Laplacescher Entwicklungssatz am besten eignet.
Hast du's damit schonmal versucht?
LG, Nadine
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:28 Do 05.06.2008 | | Autor: | DoktorQuagga |
Nein_damit habe ich es noch nicht versucht_ehrlich gesagt, weiß ich auch nicht, wie ich da ansetzen sollte...
Könntest du mir einen Tip geben?
Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Do 05.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hmm, so auf Anhieb fällt mir leider nix ein, tut mir leid.
Das mit dem Entwicklungssatz war nur eine spontane Idee beim Lesen deiner Frage.
Ansonsten noch eine spontane Idee dazu:
Umformen der allgemeinen Matrix mit Gauß auf Dreiecksform.
Dann hast du ja ganz viele Nullen.
Vielleicht klappt das dann mit dem Entwickeln.
Tut mir leid, dass ich dir nicht mehr helfen kann.
LG, Nadine
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Guten abend, also das Funktioniert auch ohne Induktion ganz toll.
Fangen wir mal an:
Also du eine Matrix die so aussieht
[mm] \pmat{0 & 1 & \cdots &1\\1 &0&\cdots&1\\1 & &\ddots &\\1&&\cdots&0} [/mm] Also eine matrix mit lauter Einsen außerhalb der Diagonalen und Nullen auf der Diagonalen. nun addiere Mal die Letzte zeile mit -1 Multipliziert zu jeder der Darüberliegenden Zeilen. Du erhälst dann eine Matrix die lauter $-1$ auf der Hauptdiagonale hat außer in der Letzten Zeile, die bleibt ja so wie sie ist und in der letzten Spalten da stehen auch lauter $1$ bis auf den letzten eintrag der ist ja Null.
Jetzt geht das spiel andersrum, nun addierst du die ersten n-1 zeilen zur letzten Zeile hinzu. Dann hast du Matrix in eine Obere Dreiecksmatrix umgeformt und kannst die determinaten leicht berechnen. Man beachte, dass das addieren einer zeile zu einer anderen die determinate der Matrix nicht ändert
Einen schönen Abend
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