Determinante & Rang bestimmen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Gegeben sind die Matrizen
[mm] C=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] D=\begin{pmatrix}
2 & 1/2 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen Sie jeweils die Determinante und den Rang von
b) G = C D E |
| Aufgabe 2 | A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 & 2 \\
0 & -2 & 3 & 21 \\
0 & 0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 1/2
\end{pmatrix}
[/mm]
B = [mm] \begin{pmatrix}
1/2 & 0 & 0 & 0 \\
2 & -1/3 & 0 & 0 \\
1/17 & 5 & 4 & 0 \\
6 & 1/23 & 13 & -1/2
\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen Sie jeweils die Determinante und den Rang von
F = A^2014 B^2010 |
Hi,
zu b)
Ich habe zunächst C*D berechnet und das dann *E und habe dann folgende Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
4 & 25/2 & 9 \\
7 & 35/2 & 7 \\
5 & 13 & 6
\end{pmatrix}
[/mm]
Dann wende ich den Entwichlungssatz nach der 1. Spalte an und bekomme
det(CDE) = 0
Beim Rang bin ich mir nicht sicher wie man diesen bestimmt.
rg(CDE) = 3, weil keine der Unterdeterminaten = 0 ist.
Stimmt das soweit ?
zu a)
Hier habe ich die jeweils die Determinaten der Matrix A & B ausgerechnet.
det(A) = -3
Ist det(A)^2014 = (-3)^2014 ? Und weiter habe ich da nichts zu machen ?
det(B) = 3
Ist det(B)^2010 = 3^2010 ? Und weiter habe ich nichts zu machen ?
Wie kann ich hier den Rang bestimmen ?
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Hallo,
bitte rechne doch deine Sachen etwas vor, es ist ja nicht Sinn der Sache, dass wir alles selber nochmal rechnen ...
> Gegeben sind die Matrizen
> [mm]C=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]D=\begin{pmatrix}
2 & 1/2 \\
1 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]E=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimmen Sie jeweils die Determinante und den Rang von
> b) G = C D E
> A = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 & 2 \\
0 & -2 & 3 & 21 \\
0 & 0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 1/2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> B = [mm]\begin{pmatrix}
1/2 & 0 & 0 & 0 \\
2 & -1/3 & 0 & 0 \\
1/17 & 5 & 4 & 0 \\
6 & 1/23 & 13 & -1/2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimmen Sie jeweils die Determinante und den Rang von
> F = A^2014 B^2010
> Hi,
>
> zu b)
> Ich habe zunächst C*D berechnet und das dann *E und habe
> dann folgende Matrix:
> [mm]\begin{pmatrix}
4 & 25/2 & 9 \\
7 & 35/2 & 7 \\
5 & 13 & 6
\end{pmatrix}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann wende ich den Entwichlungssatz nach der 1. Spalte an
> und bekomme
> det(CDE) = 0
Ich bekomme auf die Schnelle was anderes, rechne du also vor ...
>
> Beim Rang bin ich mir nicht sicher wie man diesen
> bestimmt.
> rg(CDE) = 3, weil keine der Unterdeterminaten = 0 ist.
>
> Stimmt das soweit ?
Wenn det=0 wäre, wäre die Matrix nicht invertierbar, hätte als nicht vollen Rang ...
Ich komme auf eine Determinante [mm]\neq 0[/mm], damit auf Rang 3 ...
>
> zu a)
> Hier habe ich die jeweils die Determinaten der Matrix A &
> B ausgerechnet.
> det(A) = -3
Kann sein, rechne vor!
> Ist det(A)^2014 = (-3)^2014 ?
Das wäre dann richtig!
Warum? Wegen der Multiplikativität der Determinante:
[mm]\operatorname{det}(M\cdot{}N)=\operatorname{det}(M)\cdot{}\operatorname{det}(N)[/mm]
> Und weiter habe ich da
> nichts zu machen ?
>
> det(B) = 3
s.o.
> Ist det(B)^2010 = 3^2010 ?
Das wäre dann auch richtig!
> Und weiter habe ich nichts zu
> machen ?
Das Produkt hätte also die Determinante [mm](-3)^{2014}\cdot{}3^{2010}=3^{4024}[/mm]
>
> Wie kann ich hier den Rang bestimmen ?
Wenn du die Determinante richtig berechnet hast, folgt direkt, dass die Matrix vollen Rang hat.
Ansonsten berechnet man den Rang wie?
Wie war das noch mit dem Gaußalgorithmus?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Bindl |
zu b)
det(CDE) = [mm] 4*\begin{vmatrix}
35/2 & 7 \\
13 & 6
\end{vmatrix} [/mm] - [mm] 7*\begin{vmatrix}
25/2 & 9 \\
13 & 6
\end{vmatrix} [/mm] + [mm] 5*\begin{vmatrix}
25/2 & 9 \\
35/2 & 7
\end{vmatrix}
[/mm]
=4*(35/2*6 - 7*13) - 7*(25/2*6 - 9*13) + 5*(25/2*7 - 9*35/2)
=4 * 14 - 4 * (-42) + 5 * (-70) = 56 + 294 - 350 = 0
zu a)
det(A) Entw. 4. Zeile
[mm] (1/2)*\begin{vmatrix}
1 & 4 & 7 \\
0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 3
\end{vmatrix}
[/mm]
Entw. 3 Zeile
(3/2) * [mm] \begin{vmatrix}
1 & 4 \\
0 & -2
\end{vmatrix}
[/mm]
= (3/2)*(1*(-1) - 4*0) = (3/2)*(-2) = -3
Die det(B) mache ich auf die gleiche Art
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Bindl |
zu a)
Die det(B) ist laut Arndt Brunner = 1/3 und ich habe 3. Deswege schreibe ich hier auch mal besser meinen Rechenweg auf
Entw. nach 1 Zeile:
[mm] (1/2)*\begin{vmatrix}
-1/3 & 0 & 0 \\
5 & 4 & 0 \\
1/23 & 13 & -1/2
\end{vmatrix}
[/mm]
Entw. nach 1. Zeile:
[mm] (-1/6)*\begin{vmatrix}
4 & 0 \\
13 & -1/2
\end{vmatrix}
[/mm]
= (-1/6)*(4*(-1/2) - 0*13) = (-1/6)*(-2) = 1/3
Ja ich habe auch 1/3. Habe, wieso auch immer, Bei (-1/6)*(-2) = 3 geschrieben.
Habe ich dann folgendes?
det(A)^2014 det(B)^2010 = (3*1/3)^4024 = 1
Ist dann der Rang rg(F) = 4 ?
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Hallo nochmal,
> zu b)
> det(CDE) = [mm]4*\begin{vmatrix}
35/2 & 7 \\
13 & 6
\end{vmatrix}[/mm] - [mm]7*\begin{vmatrix}
25/2 & 9 \\
13 & 6
\end{vmatrix}[/mm] + [mm]5*\begin{vmatrix}
25/2 & 9 \\
35/2 & 7
\end{vmatrix}[/mm]
> =4*(35/2*6 - 7*13) -
> 7*(25/2*6 - 9*13) + 5*(25/2*7 - 9*35/2)
> =4 * 14 - 4 * (-42) + 5 * (-70) = 56 + 294 - 350 = 0
Da habe ich mich verrechnet, 0 ist richtig.
Damit kann der Rang nicht 3 sein ...
Bringe die Matrix $CDE$ mit Gauß in Zeilenstufenform. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen gibt dir den Rang an ...
>
> zu a)
> det(A) Entw. 4. Zeile
> [mm](1/2)*\begin{vmatrix}
1 & 4 & 7 \\
0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 3
\end{vmatrix}[/mm]
>
> Entw. 3 Zeile
Schneller mit Sarrus ...
> (3/2) * [mm]\begin{vmatrix}
1 & 4 \\
0 & -2
\end{vmatrix}[/mm]
> = (3/2)*(1*(-1) - 4*0) =
> (3/2)*(-2) = -3
>
> Die det(B) mache ich auf die gleiche Art
Ok, dann scheint es ja zu stimmen ...
Kümmere dich noch um die Ränge ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Der Rang von CDE ist dann =2, da ich nur die 3. Zeile komplett zu 0 bekomme.
Da die Determinate bei a) [mm] \not= [/mm] 0 ist, ist der Rang doch voll. Also rg(F)=4.
Stimmt das ?
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