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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe, K ein Körper. Jeden Gruppenhomomorphismus [mm]\phi :G\rightarrow K^x[/mm] (wobei [mm]K^x[/mm] die multiplikative Gruppe der Einheiten von K ist) können wir auch als Abbildung [mm]G\rightarrow K[/mm] auffassen, also als Element des K-Vektorraums Abb(G,K). Für [mm]n\in \N[/mm] seien [mm]\phi_1,...,\phi_n \in Hom(G,K^x)[/mm] paarweise verschiedene Gruppenhomomorphismen. Beweisen Sie, dass die entsprechenden n Elemente von Abb(G,K) linear unabhängig sind.
(Hinweis: Induktion über n. Es gilt [mm]\sum_{i=1}^{n} a_i\phi(gh)=\sum_{i=1}^{n} a_i\phi(g)\phi(h)[/mm]) |
Hallo!
ich bin mir nicht so sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe.
Zu zeigen:
Seien [mm]\phi_1,...,\phi_n \in Hom(G,K^x)[/mm] wobei [mm]\phi_i\ne\phi_ j[/mm] für [mm]i\ne j[/mm]. Dann gilt mit [mm]\lambda_1,...,\lambda_n\in K[/mm]: [mm]\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\phi_i=0_A_b_b\Rightarrow\lambda_1=...=\lambda_n=0[/mm]
([mm]0_A_b_b[/mm] soll für "Nullabbildung" stehen)
Induktionsanfang n=1: [mm]\phi\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi\ne 0_A_b_b[/mm], also [mm]\lambda\phi=0_A_b_b \gdw \lambda=0[/mm]
Induktionsschritt n --> n+1: [mm]\phi_1,...,\phi_n_+_1\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi_1,...,\phi_n_+_1\ne 0_A_b_b[/mm]
[mm]\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i\phi_i=\lambda_n_+_1\phi_n_+_1+\sum_{i=1}^{n}=0\Rightarrow \lambda_n_+_1\phi_n_+_1=0[/mm] (mit induktionsvoraussetzung).
Da [mm]\phi_n_+_1\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi_n_+_1\ne 0_A_b_b[/mm], also folgt [mm]\lambda_n_+_1=0[/mm]
Das sieht mir allerdings zu einfach aus, und ich habe den Hinweis gar nicht verwendet. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte wo der Haken ist.
Vielen dank und liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine Gruppe, K ein Körper. Jeden
> Gruppenhomomorphismus [mm]\phi :G\rightarrow K^x[/mm] (wobei [mm]K^x[/mm] die
> multiplikative Gruppe der Einheiten von K ist) können wir
> auch als Abbildung [mm]G\rightarrow K[/mm] auffassen, also als
> Element des K-Vektorraums Abb(G,K). Für [mm]n\in \N[/mm] seien
> [mm]\phi_1,...,\phi_n \in Hom(G,K^x)[/mm] paarweise verschiedene
> Gruppenhomomorphismen. Beweisen Sie, dass die
> entsprechenden n Elemente von Abb(G,K) linear unabhängig
> sind.
>
> (Hinweis: Induktion über n. Es gilt [mm]\sum_{i=1}^{n} a_i\phi(gh)=\sum_{i=1}^{n} a_i\phi(g)\phi(h)[/mm])
>
> Hallo!
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> ich bin mir nicht so sicher, ob ich die Aufgabe richtig
> verstanden habe.
>
> Zu zeigen:
> Seien [mm]\phi_1,...,\phi_n \in Hom(G,K^x)[/mm] wobei
> [mm]\phi_i\ne\phi_ j[/mm] für [mm]i\ne j[/mm]. Dann gilt mit
> [mm]\lambda_1,...,\lambda_n\in K[/mm]: [mm]\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\phi_i=0_A_b_b\Rightarrow\lambda_1=...=\lambda_n=0[/mm]
>
> ([mm]0_A_b_b[/mm] soll für "Nullabbildung" stehen)
>
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> Induktionsanfang n=1: [mm]\phi\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi\ne 0_A_b_b[/mm],
> also [mm]\lambda\phi=0_A_b_b \gdw \lambda=0[/mm]
>
>
> Induktionsschritt n --> n+1: [mm]\phi_1,...,\phi_n_+_1\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi_1,...,\phi_n_+_1\ne 0_A_b_b[/mm]
>
> [mm]\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i\phi_i=\lambda_n_+_1\phi_n_+_1+\sum_{i=1}^{n}=0[/mm]
Da steht ja völliger Murks !
Du mußt ansetzen:
[mm] \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i\phi_i=0
[/mm]
> [mm] \Rightarrow \lambda_n_+_1\phi_n_+_1=0[/mm]
> (mit induktionsvoraussetzung).
Hä ? wieso das denn ?
FRED
>
> Da [mm]\phi_n_+_1\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi_n_+_1\ne 0_A_b_b[/mm],
> also folgt [mm]\lambda_n_+_1=0[/mm]
>
>
> Das sieht mir allerdings zu einfach aus, und ich habe den
> Hinweis gar nicht verwendet. Es wäre sehr nett, wenn mir
> jemand sagen könnte wo der Haken ist.
>
> Vielen dank und liebe Grüße
>
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen
> gestellt.
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> > Zu zeigen:
> > Seien [mm]\phi_1,...,\phi_n \in Hom(G,K^x)[/mm] wobei
> > [mm]\phi_i\ne\phi_ j[/mm] für [mm]i\ne j[/mm]. Dann gilt mit
> > [mm]\lambda_1,...,\lambda_n\in K[/mm]: [mm]\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\phi_i=0_A_b_b\Rightarrow\lambda_1=...=\lambda_n=0[/mm]
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> >
> > ([mm]0_A_b_b[/mm] soll für "Nullabbildung" stehen)
> >
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> > Induktionsanfang n=1: [mm]\phi\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi\ne 0_A_b_b[/mm],
> > also [mm]\lambda\phi=0_A_b_b \gdw \lambda=0[/mm]
> >
> >
> > Induktionsschritt n --> n+1: [mm]\phi_1,...,\phi_n_+_1\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi_1,...,\phi_n_+_1\ne 0_A_b_b[/mm]
[mm]\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i\phi_i=0[/mm]
[mm]\gdw\lambda_n_+_1\phi_n_+_1+\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\phi_i=0[/mm]
> > [mm]\Rightarrow \lambda_n_+_1\phi_n_+_1=0[/mm]
> > (mit induktionsvoraussetzung).
>
>
> Hä ? wieso das denn ?
Ich glaub das war Quatsch!
Es ist doch [mm]\lambda_n_+_1\phi_n_+_1=-\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\phi_i[/mm]
Wenn [mm]\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\phi_i=0[/mm] laut folgt Induktionsvoraussetzung [mm]\lambda_1=...=\lambda_n=0[/mm], dann müßte sich doch beweisen lassen, daß auch [mm]\lambda_n_+_1=0[/mm] sein muß. Nur weiß ich nicht wie, hat es was mit der paarweisen Verschiedenheit zu tun?
Liebe Grüße
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Zu zeigen:
Seien [mm]\phi_1,...,\phi_n \in Hom(G,K^x)[/mm] wobei [mm]\phi_i\ne\phi_ j[/mm] für [mm]i\ne j[/mm]. Dann gilt mit [mm]\lambda_1,...,\lambda_n\in K[/mm]: [mm]\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\phi_i=0_A_b_b\Rightarrow\lambda_1=...=\lambda_n=0[/mm]
([mm]0_A_b_b[/mm] soll für "Nullabbildung" stehen)
Induktionsanfang n=1: [mm]\phi\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi\ne 0_A_b_b[/mm],
also [mm]\lambda\phi=0_A_b_b \gdw \lambda=0[/mm]
Ich habe nochmal ein bißchen recherchiert und eine ähnliche Aufgabe gefunden - kann man es vll. so machen:
Die Induktionsvoraussetzung gelte für n-1 Abbildungen [mm]\phi[/mm]
Induktionsschritt n-1 --> n: [mm]\phi_1,...,\phi_n\in Hom(G,K^x)\Rightarrow \phi_1,...,\phi_n\ne 0_A_b_b[/mm]
[mm]\lambda_1\phi_1+...+\lambda_n\phi_n=0_A_b_b[/mm] (*)
[mm]\phi_1 \ne \phi_n \Rightarrow \exists h\in G:\phi_1(h)\ne\phi_n(h)[/mm]. Sei [mm]g\in G[/mm] beliebig. Wende (*) auf (hg) an:
[mm]\lambda_1\phi_1(hg)+...+\lambda_n\phi_n(hg)=0[/mm]
[mm]\gdw\lambda_1\phi_1(h)\phi_1(g)+...+\lambda_n\phi_n(h)\phi_n(g)=0[/mm] (Siehe Hinweis)
Wende (*) auf (g) an und multipliziere die Gleichung mit [mm]\phi_n(h)[/mm]:
[mm]\lambda_1\phi_n(h)\phi_1(g)+...+\lambda_n\phi_n(h)\phi_n(g)=0[/mm]
Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung liefert:
[mm]\lambda_1(\phi_1(h)-\phi_n(h))\phi_1(g)+...+\lambda_n_-_1(\phi_n_-_1(h)-\phi_n(h))\phi_n_-_1=0[/mm]
Mit der Induktionsannahme folgt, daß alle "Faktoren" = 0 sein müssen, also auch [mm]\lambda_1(\phi_1(h)-\phi_n(h))[/mm], somit ist [mm]\lambda_1=0[/mm].
Also gilt für (*): [mm]\lambda_2\phi_2+...+\lambda_n\phi_n=0[/mm] und es folgt mit Induktionsvoraussetzung [mm]\lambda_2=...=\lambda_n=0[/mm]
Ist der Beweis so richtig?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Mo 17.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mo 17.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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