Determinante berechnen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen:
[mm] A_1=\pmat{ 1 & 0& 0& 1 \\ -1 & 0 & 3& 2\\ 0 & 2& 4& 1\\ 7 & 0& \pi& \pi}
[/mm]
[mm] A_2=\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 1& -1& 0\\ 1 & 0& 0& -1}
[/mm]
b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von [mm] \gamma\in\IR [/mm] den Flächeninhalt des von u=(1,1) und [mm] v=(-1,\gamma) [/mm] aufgespannten Parallelogramms. Für welche [mm] \gamma [/mm] ist det(u,v)>0 bzw.=0 bzw. <0 und wie lässt sich das jeweils interpretieren? |
[mm] det(A_1)=-0*det\pmat{ -1& 3& 2 \\ 0 & 4& 1\\ 7 & \pi& \pi }+0*det\pmat{ 1& 0& 1 \\ 0 & 4& 1\\ 7 & \pi& \pi }-2*det\pmat{ 1& 0& 1 \\ -1& 3& 2\\ 7 & \pi& \pi }+0*det\pmat{ 1& 0& 1 \\ -1& 3& 2\\ 0 & 4& 1}
[/mm]
[mm] =-2*det\pmat{ 1& 0& 1 \\ -1& 3& 2\\ 7 & \pi& \pi }=-2(3\pi+0-\pi-(21+2\pi+0))=42
[/mm]
stimmt die Lösung? stimmen auch die Unterdeterminanten?
Bei [mm] A_2 [/mm] kann man viele Nullen erzeugen, wenn man zwei Zeilen oder zwei Spalten miteinander addiert. Soweit ich weiß kann man das machen, aber man muss dabei die Vorzeichen ändern. Bin mir nicht sicher. Kann mir das einer nochmal erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:13 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> a) Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen:
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> [mm]A_1=\pmat{ 1 & 0& 0& 1 \\ -1 & 0 & 3& 2\\ 0 & 2& 4& 1\\ 7 & 0& \pi& \pi}[/mm]
>
> [mm]A_2=\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 1& -1& 0\\ 1 & 0& 0& -1}[/mm]
>
> b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von [mm]\gamma\in\IR[/mm] den
> Flächeninhalt des von u=(1,1) und [mm]v=(-1,\gamma)[/mm]
> aufgespannten Parallelogramms. Für welche [mm]\gamma[/mm] ist
> det(u,v)>0 bzw.=0 bzw. <0 und wie lässt sich das jeweils
> interpretieren?
> [mm]det(A_1)=-0*det\pmat{ -1& 3& 2 \\ 0 & 4& 1\\ 7 & \pi& \pi }+0*det\pmat{ 1& 0& 1 \\ 0 & 4& 1\\ 7 & \pi& \pi }-2*det\pmat{ 1& 0& 1 \\ -1& 3& 2\\ 7 & \pi& \pi }+0*det\pmat{ 1& 0& 1 \\ -1& 3& 2\\ 0 & 4& 1}[/mm]
>
> [mm]=-2*det\pmat{ 1& 0& 1 \\ -1& 3& 2\\ 7 & \pi& \pi }=-2(3\pi+0-\pi-(21+2\pi+0))=42[/mm]
>
> stimmt die Lösung?
ja
> stimmen auch die Unterdeterminanten?
ja
>
> Bei [mm]A_2[/mm] kann man viele Nullen erzeugen, wenn man zwei
> Zeilen oder zwei Spalten miteinander addiert. Soweit ich
> weiß kann man das machen, aber man muss dabei die
> Vorzeichen ändern. Bin mir nicht sicher. Kann mir das
> einer nochmal erklären?
die Determinante ändert sich nicht, wenn du die j-te Spalte zur k-ten Spalte addierst, dabei müssen j und k verschieden sein.
fred
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> die Determinante ändert sich nicht, wenn du die j-te
> Spalte zur k-ten Spalte addierst, dabei müssen j und k
> verschieden sein.
Das gleiche gilt auch analog mit Zeilen oder? Also man kann die j-te Zeile zur k-ten Zeile addieren ohne die Determinante zu ändern
Das heißt es gilt NICHT:
[mm] A_2=\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 1& -1& 0\\ 1 & 0& 0& -1}=\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 1 & 0& 0& -1}
[/mm]
aber es gilt:
[mm] det(A_2)=det\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 1& -1& 0\\ 1 & 0& 0& -1}=det\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 1 & 0& 0& -1}=0*det\pmat{ 0 & 0& 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0&-1 }-0*det\pmat{ -1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0&-1 }+0*det\pmat{ -1 & 0& 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0&-1 }-0*det\pmat{ -1 & 0& 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0&0 }=0
[/mm]
Stimmt die Lösung und die Unterdeterminanten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> > die Determinante ändert sich nicht, wenn du die j-te
> > Spalte zur k-ten Spalte addierst, dabei müssen j und k
> > verschieden sein.
>
> Das gleiche gilt auch analog mit Zeilen oder?
Ja
> Also man kann
> die j-te Zeile zur k-ten Zeile addieren ohne die
> Determinante zu ändern
Ja
>
>
> Das heißt es gilt NICHT:
>
> [mm]A_2=\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 1& -1& 0\\ 1 & 0& 0& -1}=\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 1 & 0& 0& -1}[/mm]
Nein, die Matrizen sind verschieden, die Determinanten sind aber gleich.
>
> aber es gilt:
>
> [mm]det(A_2)=det\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 1& -1& 0\\ 1 & 0& 0& -1}=det\pmat{ -1 & 0& 0& 1 \\ 0 & -1 & 1& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 1 & 0& 0& -1}=0*det\pmat{ 0 & 0& 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0&-1 }-0*det\pmat{ -1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0&-1 }+0*det\pmat{ -1 & 0& 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0&-1 }-0*det\pmat{ -1 & 0& 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0&0 }=0[/mm]
>
> Stimmt die Lösung und die Unterdeterminanten?
Wozu so umständlich ?
Eine Regel:
sind in iner Matrix 2 Spalten (oder Zeilen) linear abhängig, so ist die Det.=0.
FRED
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Ich habe die Determinante der 4x4 matrizen mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz bestimmt. Angenommen ich soll die Determinante einer 5x5 Matrix bestimmen. Wenn ich den Laplaceschen Entwicklungssatz anwende, dann habe ich 5 Unterdeterminanten von 4x4 Matrizen.
Dann muss ich nochmal den Laplaceschen Entwicklungssatz für die 5 Unterdeterminanten anwenden richtig?
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Immer dieses "müssen" ...
Du mußt gar nichts - du kannst. Die eigentliche Frage ist doch: Was ist zweckmäßig? Bei dünn besetzten Matrizen, also solchen mit vielen Nullen bei den Elementen, kann die Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes günstig sein, natürlich auch mehrfach. Oft wird man die Determinante jedoch besser über elementare Zeilen- und Spaltenumformungen berechnen, indem man sie auf Dreiecksgestalt bringt.
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Soweit ich weiß beschreiben die folgenden zwei Gleichungen den Flächeninhalt eines Parallelogramms:
[mm] A=|u|*|v|*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] A=|u\times{v}|
[/mm]
Diese Gleichungen gelten für Vektoren in [mm] \IR^n. [/mm] Das heißt sowohl für [mm] \IR^2, \IR^3, \IR^4 [/mm] ....
stimmt das?
Für Vektoren in [mm] \IR^2 [/mm] kann man den Flächeninhalt eines parallelogramm auch mit der folgenden Gleichung berechnen:
A=det(u,v)
Diese Gleichung gilt aber nur für Vektoren in [mm] \IR^2. [/mm] Stimmt das?
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Die folgende Formel ist immer gültig. Sie liefert in jeder Dimension den Flächeninhalt des von den Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b}[/mm] aufgespannten Parallelogramms
[mm]A = \sqrt{\vec{a}^{\, 2} \vec{b}^{\, 2} - \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right)^2} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \sin \alpha[/mm]
wobei [mm]\alpha[/mm] der von [mm]\vec{a},\vec{b}[/mm] eingeschlossene Winkel ist.
Die folgende Formel ist nur im [mm]\mathbb{R}^3[/mm] gültig:
[mm]A = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|[/mm]
Die folgende Formel ist nur im [mm]\mathbb{R}^2[/mm] gültig:
[mm]A = \left| \det \left( \vec{a} , \vec{b} \right) \right|[/mm]
Läßt man in der letzten Formel die Betragsstriche weg, erhält man einen orientierten Flächeninhalt (mit Vorzeichen). Dazu wird ja in b) eine Frage gestellt.
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> Läßt man in der letzten Formel die Betragsstriche weg,
> erhält man einen orientierten Flächeninhalt (mit
> Vorzeichen). Dazu wird ja in b) eine Frage gestellt.
Ich bin mir nicht sicher was eine orientierte Fläche ist. Wenn ich die das Integral von ![[]](/images/popup.gif) sin(x) mit den grenzen 0 und [mm] 2\pi [/mm] berechnen will, dann ist die hälfte der fläche positiv und die andere hälfte negativ.
Ist die orientierte Fläche dann Null ?
Zur Aufgabe:
[mm] d(u,v)=det\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & \gamma }=\gamma+1
[/mm]
Für [mm] \gamma>-1 [/mm] ist det(u,v)>0
Für [mm] \gamma=-1 [/mm] ist det(u,v)=0
Für [mm] \gamma<-1 [/mm] ist det(u,v)<0
Ich habe jetzt aber nicht verstanden was ich an diesen Ergebnissen interpretieren soll?
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Drehe den Vektor [mm]\vec{u}[/mm] auf kürzestem Weg, also unter einem Winkel von weniger als 180°, auf den Vektor [mm]\vec{v}[/mm]. Wenn die Drehung dabei gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, fällt die Determinante positiv, wenn die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt, fällt die Determinante negativ aus. Probiere das mit verschiedenen [mm]\gamma[/mm]-Werten aus (Zeichnung).
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Für $ [mm] \gamma=-1 [/mm] $ ist det(u,v)=0
Der Winkel zwischen u und v beträgt genau 180°
Für $ [mm] \gamma>-1 [/mm] $ ist det(u,v)>0
u und v bilden ein Rechtssystem
Für $ [mm] \gamma<-1 [/mm] $ ist det(u,v)<0
u und v bilden ein Linkssystem
sind die Interpretationen richtig?
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Die Interpretationen sind richtig. Die Sache mit dem Winkel bei [mm]\gamma = -1[/mm] solltest du dir aber noch einmal überlegen.
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> Die Interpretationen sind richtig. Die Sache mit dem Winkel
> bei [mm]\gamma = -1[/mm] solltest du dir aber noch einmal
> überlegen.
Wieso? Für [mm] \gamma=-1 [/mm] liegt doch foglender Fall vor:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Winkel zwischen u und v besträgt dann 180°
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Das kommt darauf an, wie man Vektoren liest. Ich bin von der Spaltenschreibweise ausgegangen. Dann wäre
[mm]\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \end{pmatrix}[/mm]
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![[]](http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/animations/trigonometrie-sinus-x.gif){kind=small}
sin(x)