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| Aufgabe | | [mm] \begin{bmatrix}
t & 1\ & 1 \\
1 & t & 1 \\
1 & 1 & t
\end{bmatrix} [/mm] |
Leider konnte ich dieselbe Aufgabenstellung nirgendwo mehr finden und somit habe ich sie noch einmal gestellt. Verzeiht bitte, wenn ich hier unangemessen vorgehe, aber ich möchte gerne eure Hilfe in Anspruch nehemen. Danke für euer Verständnis!
Ist die Berechnunge der Determinante richtig? [mm] t^3-3t+2
[/mm]
Dann muß man glaube ich nachsehen für welche Werte von t die Determinante = 0 wird und somit die Matrix nicht invertierbar ist, oder?!
Herzlichen Dank für jede Hilfe
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Hallo Anaximander,
ich habe in den letzten zwei Stunden auch nichts wiedergefunden. Irgendwas hakt da auf dem Server.
Erst einmal danke für die gut lesbare Darstellung der Matrix! So macht das gleich viel mehr Spaß.
Deine Determinante ist richtig berechnet und Dein angedeuteter Rechenweg stimmt auch.
Nun musst Du nur noch herausfinden, wann [mm] \red{t^3-2t+1=0} [/mm] ist. Einen Wert sieht man anhand der Matrix ja leicht: t=1.
Durch eine Polynomdivision [mm] \red{(t^3-2t+1):(t-1)} [/mm] findest Du die anderen Werte für t ja leicht: [mm] \red{t_1=-\Phi, t_2=-\bruch{1}{\Phi}=1-\Phi} [/mm] mit dem goldenen Schnitt [mm] \red{\Phi=\bruch{\wurzel{5}+1}{2}}.
[/mm]
edit:
Der rot markierte Teil ist falsch. Die hier angegebene Gleichung wird zwar gelöst, sie stellt aber nicht die Determinante der behandelten Matrix dar. Richtigstellung in späterem Beitrag.
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Herzlichen Dank für deine Hilfe!
Wieso kann man die Werte über die Polynomdivision lösen? Warum geteilt durch t-1 ? Mein Weg über die Mitternachtsformel ist auch in Ordnung, oder?! Meine Werte sind: 0; 1 und 2. Stimmen diese Ergebnisse?
Vielen Dank für jede Hilfe und noch einen schönen Abend allerseits!
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Hallo,
prima, daß Du das mit den Matrizen jetzt kannst!
> Wieso kann man die Werte über die Polynomdivision lösen?
> Warum geteilt durch t-1 ? Mein Weg über die
> Mitternachtsformel ist auch in Ordnung, oder?! Meine Werte
> sind: 0; 1 und 2. Stimmen diese Ergebnisse?
Du hattest ja die Determinante [mm] detA=t^3-3t+2 [/mm] ausgerechnet, und ob die von Dir berechneten Stellen die det. tatsächlich 00 werden lassen, kannst Du doch leicht durch Einsetzen feststellen.
Bei Polynomen 3.Grades aus Übungsaufgaben kommt man oft gut zurecht, wenn man erstmal eine Nullstelle rät - hier ist es t=1, was man ja auch sofort erknnt, wenn man nur einen flüchtigen Blick auf die Matrix wirft.
Immer, wenn man eine Nullstelle eines Polynoms gefunden hat, kann man den Faktor (t-Nullstelle) abspalten und das Polynom schreiben als Polynom= (t-Nullstelle)*kl.Polynom.
Als nächstes bestimmt man dann die Nullstellen des kleineren Polynoms.
Die Mitternachstsformel kannst Du ja nicht für Polynome vom Grad 3 verwenden.
Gruß v. Angela
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Danke Angela und an alle anderen die mir geholfen haben!
Ich habe ja die 1 geraten. Wieso kann ich mit dem Ergebnis der Polynomdivision jetzt nicht über die Mitternachtsformel noch auf 1 und -2 kommen? Wie bekommt man sonst die anderen Werte für t, für die die Matrix nicht invertierbar ist?
Danke für jede Hilfe
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Der Faktor (t-1) stammt aus der offensichtlichen Lösung t=1, die wir ja gemeinsam haben.
Rechenprobe 1: t=0
[mm] \left|\pmat{ 0 & 1&1 \\ 1 & 0&1 \\ 1&1&0 }\right|=0+1+1-0-0-0=2\not=0
[/mm]
Rechenprobe 2: t=2
[mm] \left|\pmat{ 2 & 1&1 \\ 1 & 2&1 \\ 1&1&2 }\right|=8+1+1-2--2-2=4\not=0
[/mm]
Aus Polynomdivision erhältst Du [mm] t^3-3t+2=(t-1)(t^2+t-2)
[/mm]
Jetzt kannst Du die p,q-Formel auf die rechte Klammer anwenden und erhältst [mm] t_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\left(-\bruch{1}{2}\right)^2-(-2)}=-\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{9}{4}}=...
[/mm]
also [mm] t_1=1, t_2=-2
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Mo 01.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ich sehe gerade, dass ich gestern andere Ergebnisse hatte. Ärgerlich. Sie waren falsch, und als solches werde ich sie jetzt kennzeichnen.
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