Determinante berechnen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinate A durch elementare Umformungen zu einer oberen Dreiecksmatrize.
[mm] A=\vmat{ 2 & -1 & 3 & 4 \\ -3 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 4 & -4 & 2 \\ 4 & -3 & 2 & 1 } [/mm] |
Guten Abend,
ich habe die Aufgabe versucht zu lösen, aber komme nicht mit der oberen Dreiecksmatrix auf die Lösung det(B)=244.
Hier mein Vorgehen:
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 3 & 4 \\ -3 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 4 & -4 & 2 \\ 4 & -3 & 2 & 1 } [/mm] Zeile 2: 3*I+2*II , Zeile 3: I-2*III , Zeile 4: 2*I-IV
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 11 & 6 \\ 0 & -9 & 11 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 7 } [/mm] Zeile 3: 9*II+III , Zeile 4: II-IV
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 11 & 6 \\ 0 & 0 & 110 & 54 \\ 0 & 0 & 7 & -1 } [/mm] Zeile 3: Division durch 2
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 11 & 6 \\ 0 & 0 & 55 & 27 \\ 0 & 0 & 7 & -1 } [/mm] Zeile 4: 7*III-55*IV
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 11 & 6 \\ 0 & 0 & 55 & 27 \\ 0 & 0 & 0 & 244 }
[/mm]
So und jetzt die Diagonale multiplizieren: 2*1*55*244=26840 [mm] \not=244 [/mm] !
Wo liegt der Fehler?
Danke vorab.
|
|
| |
|
moin monstre,
Dein Problem ist, dass du mehrere Umformungen auf einmal gemacht hast.
Das Problem ist, die Determinante bleibt dabei nicht immer gleich.
Vertauschst du zwei Zeilen, so wird die Determinante mit -1 multipliziert.
Multiplizierst du eine Zeile mit einer Zahl $x$, so wird auch die Determinante mit $x$ multipliziert, du musst also am Schluss wieder dadurch teilen, um dies auszugleichen.
Einzig das Addieren einer Zeile auf eine andere ändert die Determinante nicht.
Das heißt mach mal die drei Umformungen "vertauschen, multiplizieren, addieren" alle einzeln und für jede Multiplikation teilst du die Ergebnisdeterminante durch die Zahl, mit der du multipliziert hast, für jede Vertauschung multiplizierst du die erhaltene Determinante mit -1.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
Hallo monstre123,
ich denke du hast beim ersten umformen schon einen Fehler gemacht.
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 3 & 4 \\ -3 & 2 & 1 & -3 \\ 1 & 4 & -4 & 2 \\ 4 & -3 & 2 & 1 } [/mm] Zeile 2: 2*II+3*I , Zeile 3: 2*III-I , Zeile 4: IV-2*I
Da sollte dann raus kommen:
[mm] \vmat{ 2 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 11 & 6 \\ 0 & \color{red}7 & \color{red}-11 & 0 \\ 0 & \color{red}-5 & \color{red}-4 & \color{red}-7 }
[/mm]
Du musst deine Elementarumformungen immer auf die Zeile anwenden, d.h. Zeile */+/- Umformung, und nicht anders herum.
Hoffe von da aus kommst du weiter.
EDIT: Und natürlich die Einwände von Shadowmaster beachten!!!
Liebe Grüße, Wolfgang.
|
|
|
|
