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Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:47 Di 23.01.2007
Autor: Blueevan

Aufgabe
Für n [mm] \in\ [/mm] IN sei die folgende matrix A [mm] \in [/mm] Mn,n [mm] (\IR) [/mm] gegeben:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & ... & n-1 n \\ 2 & 3 & ... & n & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ n-1 & n & ... & .... & 0 \\ n & 0 & ... & ... & 0 } [/mm] , d.h. [mm] aij=\begin{cases} i+j-1, & \mbox{für } \mbox{ i+j\len+1} \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

Hallo!
Ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz. Kann man die Matrix nicht einfach transponieren, dann ist sie ja schon auf Dreiecksform und die Determinante ist [mm] n^{n}? [/mm]
Ich hab eine Musterlösung dafür und laut der ist det A = [mm] (-1)^{\bruch{n}{2}}n^{n} [/mm] für n gerade und [mm] (-1)^{\bruch{n-1}{2}}n^{n} [/mm] für n ungerade.
Wie kommt man auf das [mm] (-1)^{...}? [/mm] Ich dachte das hat man nur wenn man nach einer Zeile/Spalte entwickelt.

Danke für die Hilfe!

        
Bezug
Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Di 23.01.2007
Autor: statler

Guten Tag!

> Für n [mm]\in\[/mm] IN sei die folgende matrix A [mm]\in[/mm] Mn,n [mm](\IR)[/mm]
> gegeben:
>  [mm]\pmat{ 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ 2 & 3 & ... & n & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ n-1 & n & ... & .... & 0 \\ n & 0 & ... & ... & 0 }[/mm]
> , d.h. [mm]aij=\begin{cases} i+j-1, & \mbox{für } \mbox{ i+j\len+1} \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]

>  Ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz. Kann man die Matrix
> nicht einfach transponieren, dann ist sie ja schon auf
> Dreiecksform und die Determinante ist [mm]n^{n}?[/mm]

'transponieren' heißt doch 'an der Hauptdiagonalen spiegeln' und dabei ändert sich nix, das Ding ist symmetrisch.

>  Ich hab eine Musterlösung dafür und laut der ist det A =
> [mm](-1)^{\bruch{n}{2}}n^{n}[/mm] für n gerade und
> [mm](-1)^{\bruch{n-1}{2}}n^{n}[/mm] für n ungerade.
>  Wie kommt man auf das [mm](-1)^{...}?[/mm] Ich dachte das hat man
> nur wenn man nach einer Zeile/Spalte entwickelt.

Die -1 kommt doch auch ins Geschäft, wenn ich 2 Zeilen (oder Spalten) vertausche. Aber wie mache ich durch Zeilentauschen aus der gegebenen Matrix eine vorschriftsmäßige Dreiecksmatrix? Ich vertausche die 1. und die letzte Zeile, dann die 2. und die vorletzte usw. Für gerades n geht das auf, d. h. es bleibt keine Zeile am Platz, für ungerades n bleibt die mittlere, wo sie ist. Bei jeder Tauschaktion wird die Determinante mit -1 multipliziert, und das gibt das gewünschte Resultat.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Di 23.01.2007
Autor: Blueevan

Oh danke schön :)
Lol ich hab ziemlich komisch gedacht :D
Das mit den Zeilen hat ich ganz vergessen.


Bezug
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