Determinante der Hessematrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | hat die Determinante der Hessematrix detH=detf'' Bedeutung für Extrema einer Fktn f? |
Hallo,
hat die Determinante der Hessematrix detH=detf'' Bedeutung für Extrema einer Fktn f?
Wir hatten Determinanten und Eigenwerte noch nicht (dafür aber Definitheit über die quadratische Form definiert), aber die Bedingungen für die Art der Extrema stehen "ausgeschrieben" im Skript und dieses Ausgeschriebene sieht aus wie die detH.
f: [mm] R^2->R [/mm] 2x stetig diffb.
Es läuft hinaus auf: (bzgl. Extrema in entsprechendem Pkt p mit f'(p)=0)
detH<0 -> f hat in entspr. Pkt. einen Sattelpkt
detH>0 -> f hat in entspr. Pkt. lok. Max., falls [mm] \bruch{ \partial f^2(p)}{\partial x^2}<0 [/mm]
lok. Min., falls [mm] \bruch{ \partial f^2(p)}{\partial x^2}>0 [/mm]
Und wie kommen diese Bedingungen zustande?
[mm] [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Fr 04.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo geigenzaehler,
vielleicht kennst du folgendes Determinantenkriterium.
[mm] $A=\pmat{ a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} }$, [/mm] setze [mm] A_1=(a_11), A_2=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] usw., d.h. [mm] A_k=\pmat{ a_{11} & ... & a_{1k} \\ ... & & ... \\ a_{k1} & ... & a_{kk} }.
[/mm]
Dann gilt:
(I) A ist positiv definit genau dann, wenn [mm] $det(A_k)>0$ [/mm] $ [mm] \forall [/mm] k=1,...,n$.
(II) A ist negativ definit genau dann, wenn [mm] $(-1)^kdet(A_k)>0$ $\forall [/mm] k=1,...,n$.
Wende diesen Satz jetzt auf das Kriterium zweiter Ordnung für Extremstellen an.
Es gilt ja bekanntlich:
Sei [mm] U\subseteq\IR^n [/mm] offen, [mm] f:U\to\IR [/mm] zweimal stetig partiell differenzierbar. Sei [mm] $p\in [/mm] U$ mit [mm] $\nabla [/mm] f(p)=0$ (Kriterium erster Ordnung).
Ist H(p) positiv definit, dann ist p lokale Minimumstelle von f.
Ist H(p) negativ definit, dann ist p lokale Maximumstelle von f.
Ist H(p) indefinit, dann ist p echte Sattelstelle von f.
Nun wenden wir das ganze mal auf deinen Fall von [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] an. Dann ist [mm] H(x)=\pmat{ \partial_1\partial_1 f(x) & \partial_2\partial_1 f(x) \\ \partial_1\partial_2 f(x) & \partial_2\partial_2 f(x) }. [/mm] Damit muss für positiv definite H(x) nach dem Determinantenkriterium [mm] det(\pmat{ \partial_1\partial_1 f(x) & \partial_2\partial_1 f(x) \\ \partial_1\partial_2 f(x) & \partial_2\partial_2 f(x) })>0 [/mm] und [mm] det(\partial_1\partial_1 f(x))=\partial_1\partial_1 [/mm] f(x)>0 sein. Für negativ definite H(x) muss [mm] (-1)^2det((\pmat{ \partial_1\partial_1 f(x) & \partial_2\partial_1 f(x) \\ \partial_1\partial_2 f(x) & \partial_2\partial_2 f(x) })=det((\pmat{ \partial_1\partial_1 f(x) & \partial_2\partial_1 f(x) \\ \partial_1\partial_2 f(x) & \partial_2\partial_2 f(x) })>0 [/mm] und [mm] (-1)det(\partial_1\partial_1 f(x))=(-1)\partial_1\partial_1 [/mm] f(x)>0 sein.
MfG Ladon
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Danke f d engagierten Beitrag. Ich muss es mir "bei Zeiten" genauer anchauen u melde mich dann nochmals.
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