Determinante einer 2x2 Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Do 15.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | Sei a [mm] =\pmat{ a & b \\ c & d } \in \IQ^{2 x 2} [/mm] mit Det(A) [mm] \not=
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] A^{-1}
[/mm]
b) Sei A [mm] \in \IZ^{2 x 2} [/mm] dann gilt [mm] A^{-1} \in \IZ^{2 x 2} \gdw Det(A)=\pm [/mm] 1 |
Hallo...
ich habe Fragen zu der o.g. Aufgabe:
a) ist noch klar, [mm] A^{-1}=\bruch{1}{ad-bc} \*\pmat{d & -b\\ -c & a} [/mm] rauskommen...
meine Frage betrifft Aufgabenteil b)
ich kann doch nur eine invertierbare Matrix bildet, wenn die Elemente 1/-1 sind, und deswegen kann die Determinante nur 1 bzw. -1 sein. Aber wie kann man das am besten beweisen? Oder soll man am besten die möglichen Varianten von A aufschreiben und sagen, weil die anderen Elemente nicht als ganze Zahl (ausnahme 0, aber da gibt es ja keine inverse Matrix von) in der inversen Matrix darstellbar sind, muss die Matrix aus lauter 1 und 0 bestehen?
Ich wäre dankbar für einen Tipp, wie ich das am besten lösen könnte.
MFG
kiwibox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 15.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Bei b) sollst Du zeigen: für A $ [mm] \in \IZ^{2 x 2} [/mm] $ gilt:
die Matrixeinträge in [mm] A^{-1} [/mm] sind ganze Zahlen [mm] \gdw [/mm] Det(A) = [mm] \pm [/mm] 1
Die Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist einfach: benutze $ [mm] A^{-1}=\bruch{1}{ad-bc} *\pmat{d & -b\\ -c & a} [/mm] $
Zu [mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei D := Det(A). Aus $ [mm] A^{-1}=\bruch{1}{D} *\pmat{d & -b\\ -c & a} [/mm] $ kannst Du ablesen: es gibt ganze Zahlen k,l,m und n mit:
a=kD, b= lD, c= mD und d=nD
folgere daraus: D = [mm] pD^2 [/mm] mit einer ganzen Zahl p.
Siehst Du dann, dass D = [mm] \pm1 [/mm] sein muß ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 15.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Bei b) sollst Du zeigen: für A [mm]\in \IZ^{2 x 2}[/mm] gilt:
>
> die Matrixeinträge in [mm]A^{-1}[/mm] sind ganze Zahlen [mm]\gdw[/mm] Det(A)
> = [mm]\pm[/mm] 1
>
> Die Richtung [mm]"\Leftarrow"[/mm] ist einfach: benutze
> [mm]A^{-1}=\bruch{1}{ad-bc} *\pmat{d & -b\\ -c & a}[/mm]
ist klar. danke.
>
> Zu [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei D := Det(A). Aus [mm]A^{-1}=\bruch{1}{D} *\pmat{d & -b\\ -c & a}[/mm]
> kannst Du ablesen: es gibt ganze Zahlen k,l,m und n mit:
>
> a=kD, b= lD, c= mD und d=nD
>
> folgere daraus: D = [mm]pD^2[/mm] mit einer ganzen Zahl p.
>
die Folgerung ist mir nicht ganz klar. wie kommst du auf [mm] pD^{2}?
[/mm]
> Siehst Du dann, dass D = [mm]\pm1[/mm] sein muß ?
nein, das sehe ich auch nicht dann, weil ich wahrscheinlich ab der Folgerung nicht mehr dir ganz folgen kann...
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Do 15.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
$D=ad-bc= kD*nD-lD*mD= [mm] (kn-lm)D^2=pD^2$, [/mm] mit p= kn-lm [mm] \in \IZ
[/mm]
Da A inv. ist, ist D [mm] \not=0, [/mm] somit: $1=p*D$
Du hast also, dass das Produkt der beiden ganzen Zahlen p und D den Wert 1 hat. Was folgt daraus ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
ich war einfach nur doof, und stand auf dem schlauch. dankeschön.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Do 15.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich wäre dankbar für einen Tipp, wie ich das am besten
> lösen könnte.
Zur Rückrichtung ein anderer Ansatz: Zeige [m]det(a)\in \IZ[/m] falls [m]A\in\IZ^{2\times 2}[/m]. Dann benutze Multiplikativität und das nur 1,-1 in [m]\IZ[/m] inv.bar sind.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
so habe ich es auch gemacht. ging viel schneller. danke
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