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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Sa 10.01.2009 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | Für a,b [mm] \in \IR [/mm] sei die Matrix M(a,b) = [mm] m_{ij} \in [/mm] Mat(n,n) gegeben durch
mij= a fall i=j
b falls [mm] i\not=j
[/mm]
bestimmen die die determinante von M(a,b) |
hm ich weiß nicht so recht mit welchen verfahren ich da ran gehen soll
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Hallo erisve,
> Für a,b [mm]\in \IR[/mm] sei die Matrix M(a,b) = [mm]m_{ij} \in[/mm] Mat(n,n)
> gegeben durch
> mij= a fall i=j
> b falls [mm]i\not=j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> bestimmen die die determinante von M(a,b)
> hm ich weiß nicht so recht mit welchen verfahren ich da ran
> gehen soll
Verschaffe dir erstmal einen Eindruck, wie die Biester konkret aussehen
Für $\red{n=2}$ sieht das so aus:
$det(A_{\red{2}})=\pmat{a&b\\b&a}$, also $det(A_{\red{2}})=a^2-b^2=(a-b)\cdot{}(a+b)=(a-b)^{\red{2}-1}\cdot{}(a+(\red{2}-1)}\cdot{}b)$
Für $\red{n=3}$
$A_{\red{3}}=\pmat{a&b&b\\b&a&b\\b&b&a}$, also mit Sarrus
$det(A_{\red{3}})=a^3-3ab^2+2b^3=(a-b)^{\red{3}-1}\cdot{}(a+(\red{3}-1)\cdot{}b)$
Für $\red{n=4}$ ist $A_{\red{4}}=\pmat{a&b&b&b\\b&a&b&b\\b&b&a&b\\b&b&b&a}$
Hier addiere jeweils das $(-1)$fache der letzten Spalte zu den ersten 3 Spalten
Das gibt $\pmat{a-b&0&0&b\\0&a-b&0&b\\0&0&a-b&b\\b-a&b-a&b-a&a}$
Hier nun jede der ersten 3 Zeilen auf die 4.Zeile addieren, das gibt
$\pmat{a-b&0&0&b\\0&a-b&0&b\\0&0&a-b&b\\0&0&0&a+3b}$
Dies ist nun eine $\triangle$-Matrix, die Determinante ist also das Produkt der Hauptdiagonaleinträge, also
$det(A_{\red{4}})=(a-b)^3\cdot{}(a+3b)=(a-b)^{\red{4}-1}\cdot{}(a+(\red{4}-1)\cdot{}b)$
Es hat also den starken Anschein, dass die Determinante für allg. n, also $det(A_{\red{n}})=(a-b)^{\red{n}-1}\cdot{}(a+(\red{n}-1)\cdot{}b)$ ist
Versuche, damit eine Induktion ...
LG
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:02 So 11.01.2009 | | Autor: | erisve |
vielen dank,
ja ich kam mit der 4kreuz4 matrix nicht weiter, aber die schritte konnte ich nun alle nachvollziehen und nach der berechnung der 4X4Determinatne kann man ja auch gut auf die induktionsformel schließen,
nun hab ich mal die matrix für den induktionsschluss aufgestellt die ja zusätzlich zu der nxn-Matrix noch eine weter zeile und spalte enthält mit lauter bs außer gannz hinten wo dann ein a ist, wenn ich es schaffen würde diese untere zele zu 0 zu machen (bis auf das a hinten)könnte ich ja D10 (also das wo man die matrix in 4 teile teilt und nur die beiden Determinanten der oberen linken und unteren rechten berechnen und malnehmen muss) nur wie krieg ich dort unten links nullen hin?
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> nun hab ich mal die matrix für den induktionsschluss
> aufgestellt die ja zusätzlich zu der nxn-Matrix noch eine
> weter zeile und spalte enthält mit lauter bs außer gannz
> hinten wo dann ein a ist, wenn ich es schaffen würde diese
> untere zele zu 0 zu machen (bis auf das a hinten)k
Hallo,
wie wäre es, wenn Du statt dieser Erzählung (oder besser noch: zusätzlich) mal die Matrix, über die Du redest, posten würdest.
> önnte ich
> ja D10 (also das wo man die matrix in 4 teile teilt
??? Auch hier wäre für solche wie mich hilfreich, wenn Du mal zeigen würdest, was Du meinst.
Ich kann mir unter dem D10 nichts vorstellen.
Gruß v. Angela
> und nur
> die beiden Determinanten der oberen linken und unteren
> rechten berechnen und malnehmen muss) nur wie krieg ich
> dort unten links nullen hin?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 So 11.01.2009 | | Autor: | erisve |
[mm] \pmat{ a & b & ... & b \\ b & a &...& b \\ b & b &... & a}
[/mm]
das hier ist ja die matrix (soll n+1 sein, naja und die äußertste zeilen/spalte weg würde dann die induktionsannahme sein also der formel entsprechen, nun gibt es ja eine regel wo man die matrix in 4 zeile zeilt , wobei unter dem einen strich nur nullen stehen, dann muss man nur noch die determinanten von den matrizen oben links und unten rechts berechnen, nur wie krieg ich dort unten in derletzten zeile die bs zu 0?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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