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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Fr 10.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit dem Gauß-Algorithmus die Determinante von
A = [mm] \pmat{1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & −1 & 1 & −3
}
[/mm]
Welchen Wert nimmt die Determinante in den Körpern [mm] \IZ_{2}, \IZ_{5} [/mm] und [mm] \IZ_{7} [/mm] an? |
in [mm] \IZ_{2}:
[/mm]
A = [mm] \pmat{1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1} [/mm] = 1 + 0 + 1 - 0 - 1 - 1 = 0
Ist mein Vorgehen für [mm] \IZ_{2} [/mm] richtig ?
Wenn ja werde ich die restlichen zur Kontrolle auch eingeben
Gruß
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> Bestimmen Sie mit dem Gauß-Algorithmus die Determinante
> von
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> A = [mm]\pmat{1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & −1 & 1 & −3
}[/mm]
>
> Welchen Wert nimmt die Determinante in den Körpern
> [mm]\IZ_{2}, \IZ_{5}[/mm] und [mm]\IZ_{7}[/mm] an?
> in [mm]\IZ_{2}:[/mm]
> A = [mm]\pmat{1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1}[/mm]
> = 1 + 0 + 1 - 0 - 1 - 1 = 0
>
> Ist mein Vorgehen für [mm]\IZ_{2}[/mm] richtig ?
Hallo,
Du hast offenbar die Determinante nach der 1.Spalte entwickelt und dann die Regel von Sarrus verwendet. Damit kommst Du zum richtigen Ergebnis - welches man allerdings schon vom bloßen Draufgucken wissen konnte, denn die beiden letzten Zeilen sind ja offensichtlich linear abhängig.
Allerdings sollst Du lt. Aufgabenstellung mit dem Gaußalgorithmus arbeiten.
Dazu bringt man die Matrix durch Zeilen/Spaltenumformungen auf Dreiecksform,
die Determinante ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente.
Beim Berechnen der Determinante ist zu beachten:
Addiert man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen (!) Zeile, so ändert sich die Determinante nicht.
Multipliziert man eine Zeile mit einer Zahl k, so ändert sich die Determinante, um das k-fache.
Vertauscht man zwei Zeilen, ändert sich das Vorzeichen.
(Für "Spalte" entsprechend.)
Beispiel: [mm] det\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 &5&6 \\7&8&9}=\bruch{1}{13}det\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4*13 &5*13&6*13 \\7&8&9}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Fr 10.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ist mein Ansatz jetzt richtig oder nicht ?
Habe jetzt als Ergebnis der det(A) im [mm] \IZ_5 [/mm] 42. Ist das richtige Ergebnis jetzt 42 oder 3 (Als Restklasse) ?
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> Ist mein Ansatz jetzt richtig oder nicht ?
Wie ich bereits schrieb:
Du hast die Determinante richtig berechnet.
Da lt. Aufgabenstellung gefordert ist, daß Du mit dem Gaußalgorithmus zur Berechnung der Determinante arbeitest, hast Du die Aufgabenstellung jedoch nicht erfüllt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Fr 10.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ah echt mal, wieder mal reingefallen. Ich versuchs gleich nochmal. Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 So 12.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ich habe es erneut nochmal nachgerechnet und meine Ergebnisse sind:
im [mm] \IZ_{2} [/mm] det(A)=0
im [mm] \IZ_{5} [/mm] det(A)=0
im [mm] \IZ_{7} [/mm] det(A)=3
Als bsp für [mm] \IZ_7 [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 6 & 1 & 4}
[/mm]
[mm] \leadsto \pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 } [/mm]
det [mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 } [/mm] = [mm] 1*\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] = [mm] 1*1*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 3 } [/mm] = 1*1*(3-0) = 3
Ist das jetzt richtig ?
Die Aufgabenstellung lautet:
Bestimmen Sie mit dem Gauß-Algorithmus die Determinante von A. Welchen Wert nimmt die Determinante in den Körpern [mm] \IZ_2, \IZ_5 [/mm] und [mm] \IZ_7 [/mm] an?
Soll ich jetzt die Determinante im [mm] \IR [/mm] berechnen und dann in den Restklassen oder einfach nur die det in den Restklassenkörpern
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> Ich habe es erneut nochmal nachgerechnet und meine
> Ergebnisse sind:
> im [mm]\IZ_{2}[/mm] det(A)=0
> im [mm]\IZ_{5}[/mm] det(A)=0
> im [mm]\IZ_{7}[/mm] det(A)=3
>
> Als bsp für [mm]\IZ_7[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 6 & 1 & 4}[/mm]
>
> [mm]\leadsto \pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
> det [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
> = [mm]1*\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm] =
> [mm]1*1*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 3 }[/mm] = 1*1*(3-0) = 3
>
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> Ist das jetzt richtig ?
Hallo,
ob Du detA richtig ausgerechnet hast, kann ich so nicht kontrollieren ( - ohne alles selbst zu rechnen.)
Die Determinante der ZSF hast Du richtig berechnet, aber umständlich: bei Dreiecksmatrizen muß man nur die Diagonalelemente multiplizieren. Das ist ja auch der Grund dafür, daß man hier zum Berechnen der Determinante die Matrix auf obere Dreiecksform bringt.
Im allgemeinen (!) ist aber detA nicht gleich der Determinante der oberen Dreiecksform von A.
Was man berücksichtigen muß, hatte ich in meinem ersten Beitrag geschrieben.
Um die Determinante von A mithilfe ihrer ZSF zu berechnen, muß man wissen, welche Umformungen auf dem Weg zur ZSF durchgeführt wurden, s. meinen ersten Beitrag.
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> Die Aufgabenstellung lautet:
> Bestimmen Sie mit dem Gauß-Algorithmus die Determinante
> von A. Welchen Wert nimmt die Determinante in den Körpern
> [mm]\IZ_2, \IZ_5[/mm] und [mm]\IZ_7[/mm] an?
>
> Soll ich jetzt die Determinante im [mm]\IR[/mm] berechnen und dann
> in den Restklassen oder einfach nur die det in den
> Restklassenkörpern
Alle.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 12.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
Wie soll ich jetzt vorgehen damit ich die Aufgabe richtig löse ?
Habe jetzt die Matrix im [mm] \IR [/mm] ins ZSF gebracht:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & -3} \leadsto \pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5/3}
[/mm]
und berechne die Determinante: 1*1*(-6)*(-5/3) = 10
und in den Körpern [mm] \IZ_2 [/mm] /leadsto 0 [mm] \IZ_5 \leadsto [/mm] 0 und [mm] \IZ_7 \leadsto [/mm] 3
Ist das jetzt richtig ?
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> Wie soll ich jetzt vorgehen damit ich die Aufgabe richtig
> löse ?
>
> Habe jetzt die Matrix im [mm]\IR[/mm] ins ZSF gebracht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & -3} \leadsto \pmat{ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5/3}[/mm]
>
> und berechne die Determinante: 1*1*(-6)*(-5/3) = 10
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du nicht gründlich studierst, was ich Dir schreibe.
Du hast die Determinante der ZSF richtig berechnet.
Zufällig ist das auch die Determinante von A, weil Du anscheinend keine Umformungen gemacht hast, die die Determinante ändern.
Man muß immer gut beachten, welche Zeilenumformungen man vornimmt. Hatte ich ja schon genauer erklärt.
> und in den Körpern [mm]\IZ_2[/mm] /leadsto 0 [mm]\IZ_5 \leadsto[/mm] 0 und
> [mm]\IZ_7 \leadsto[/mm] 3
>
> Ist das jetzt richtig ?
Die Ergebnisse sind richtig.
Es reicht wie erwähnt nicht, die ZSF hinzuschreiben und ihre Determinante zu berechnen.
Der Weg zur ZSF ist wichtig. Wie erwähnt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Di 14.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
Also meine Umformungen waren:
(-2)*I+III [mm] \leadsto [/mm] III
(-2)*I+IV [mm] \leadsto [/mm] IV
-II+III [mm] \leadsto [/mm] III
II+IV [mm] \leadsto [/mm] IV
(-2/3)*III+IV [mm] \leadsto [/mm] IV
D.h. muss ich keine zusätzlichen Produkte an die Determinante hängen, da ich die Zeilen mit der vielfachen einer anderen addiert habe.
Somit sind meine Ergebnisse richtig und ich kann es so stehen lassen, oder?
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> Also meine Umformungen waren:
> (-2)*I+III [mm]\leadsto[/mm] III
> (-2)*I+IV [mm]\leadsto[/mm] IV
> -II+III [mm]\leadsto[/mm] III
> II+IV [mm]\leadsto[/mm] IV
> (-2/3)*III+IV [mm]\leadsto[/mm] IV
>
> D.h. muss ich keine zusätzlichen Produkte an die
> Determinante hängen, da ich die Zeilen mit der vielfachen
> einer anderen addiert habe.
> Somit sind meine Ergebnisse richtig und ich kann es so
> stehen lassen, oder?
Hallo,
ja, genau.
LG Angela
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