Determinante inverser Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Bzzz |
Hi,
nun komme ich doch mal dazu, hier meine erste Frage ohne dringenden Hintergrund einzustellen ;)
Folgendes, ich komme grade nicht auf den Fehler bei der Herleitung: (hatte ein kleineres Verständnisproblem an einer 3x3, und beim Auseinandernehmen der Lösung anhand einer 2x2 kam ich dann auf eben jene Frage. Wahrscheinlich total trivial, aber ich komm nicht drauf...)
Die Determinante der Matrizen A*B ist gleich dem Produkt der Determinanten A und B, also [mm] \det (A*B) = \det(A)*\det(B) [/mm]
Bei invertierbaren Matrizen ist [mm] A*A^{-1} = E[/mm] , die Einheitsmatrix
det E ist 1, also muss [mm] \det (A*A^{-1})=1[/mm] sein
det A sollte also demnach [mm] \bruch{1}{\det A^{-1}} [/mm] sein
Wenn ich mir nun aber eine 2x2 [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] anschaue, ist dort die Determinante gleich [mm]\det(A) = a*d-c*b[/mm]
Die Formel für die invertierte Matrix dazu wäre [mm] A^{-1}=\bruch{1}{\det(A)}\pmat{ d & -b \\ -c & a }
[/mm]
Ob ich nun den Bruch mit reinmultipliziere oder nicht...egal, oder? Sieht nur hässlicher aus, lässt sich aber beim folgenden Schritt dann wieder ausklammern und steht dann wieder als Vorfaktor dran.
Nehm ich dann von [mm]A^{-1}[/mm] wieder die Determinante, errechnet sie genauso wie [mm]A[/mm], die Vertauschung von a und d, bzw. der doppelte Vorzeichenwechsel bei b und c stört nicht. Allerdings muss ich ja den Vorfaktor [mm] \bruch{1}{\det(A)} [/mm] berücksichtigen. Effektiv stünde dann da: [mm]\det(A^{-1})=\bruch{d*a-(-c)*(-b)}{a*d-c*b}=\bruch{\det (A)}{\det(A)}\quad...=1[/mm], und das auch noch unabhängig von den tatsächlichen Elementen a, b, c, d, da sich alles kürzt.
Wäre allerdings sehr seltsam, wenn alle inversen Matrizen die Determinante 1 hätten, da dann die zugehörigen "normalen" Matrizen ja die Determinante [mm]1/1=1[/mm] haben müssten...kann ich so nicht bestätigen ;)
Sieht jemand, wo der Fehler liegt? Ich steh wie gesagt aufm Schlauch...
Grüße,
Mathias ;)
Ach, fürs Protokoll noch, bisschen fummelig (da hat sich einer in HTML verkünstelt) die Frageerstellung...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Fr 10.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mathias!
> Hi,
> nun komme ich doch mal dazu, hier meine erste Frage ohne
> dringenden Hintergrund einzustellen ;)
>
> Folgendes, ich komme grade nicht auf den Fehler bei der
> Herleitung: (hatte ein kleineres Verständnisproblem an
> einer 3x3, und beim Auseinandernehmen der Lösung anhand
> einer 2x2 kam ich dann auf eben jene Frage. Wahrscheinlich
> total trivial, aber ich komm nicht drauf...)
>
> Die Determinante der Matrizen A*B ist gleich dem Produkt
> der Determinanten A und B, also [mm]\det (A*B) = \det(A)*\det(B)[/mm]
> Bei invertierbaren Matrizen ist [mm]A*A^{-1} = E[/mm] , die
> Einheitsmatrix
> det E ist 1, also muss [mm]\det (A*A^{-1})=1[/mm] sein
> det A sollte also demnach [mm]\bruch{1}{\det A^{-1}}[/mm] sein
>
> Wenn ich mir nun aber eine 2x2 [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> anschaue, ist dort die Determinante gleich [mm]\det(A) = a*d-c*b[/mm]
>
> Die Formel für die invertierte Matrix dazu wäre
> [mm]A^{-1}=\bruch{1}{\det(A)}\pmat{ d & -b \\ -c & a }[/mm]
> Ob ich
> nun den Bruch mit reinmultipliziere oder nicht...egal,
> oder? Sieht nur hässlicher aus, lässt sich aber beim
> folgenden Schritt dann wieder ausklammern und steht dann
> wieder als Vorfaktor dran.
>
> Nehm ich dann von [mm]A^{-1}[/mm] wieder die Determinante, errechnet
> sie genauso wie [mm]A[/mm], die Vertauschung von a und d, bzw. der
> doppelte Vorzeichenwechsel bei b und c stört nicht.
> Allerdings muss ich ja den Vorfaktor [mm]\bruch{1}{\det(A)}[/mm]
> berücksichtigen. Effektiv stünde dann da:
> [mm]\det(A^{-1})=\bruch{d*a-(-c)*(-b)}{a*d-c*b}=\bruch{\det (A)}{\det(A)}\quad...=1[/mm],
Das ist nicht richtig, denn du musst nicht durch [mm] $\det(A)$, [/mm] sondern durch [mm] $\det(A)^2$ [/mm] dividieren; bei einer [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix durch den Vorfaktor hoch n. Durch Hineinmultiplizieren in die Matrix oder direkt aus der Definition der Determinante siehst du, dass
[mm] \det(\lambda A) = \lambda^n\det(A)[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Bzzz |
Hallo Rainer,
das is ja n Ding ;)
Wüsste grad nicht, dass mir die Definition so schonmal begegnet ist. Kommt aber hin, hab das eben mal mit Mathematica durchgespielt. Und klar, bei den Produkten ist der Vorfaktor jeweils n Mal mit drin, da sieht man das.
Ich glaub, ich hab beim Kürzen in meinem Fall den falschen Hauptnenner [mm]\det (A)[/mm] genommen, also aus [mm]Y*X[/mm] ein [mm]Y+X[/mm] gemacht. Schön doof :)
Danke dir für die schnelle Antwort!
Mathias
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