Determinante mit Variablen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:32 Di 14.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit a, b, x ∈ R
A = [mm] \pmat{ 3-x & 2 & 1 \\ 2 & -1-x & 3 \\ 5 & 0 & -3-x}
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 1 & a + b & a-b & a^2-b^2 \\ 1 & a + b + 2 & 2a & 2a^2-2ab \\ 1 & a + b-2 & 3-2b & 2ab-2b^2 \\ -1 & -a-b & 3-a + b & 4-a^2 + b^2} [/mm] |
Mittels Regel von Sarrus
A = [mm] \pmat{ 3-x & 2 & 1 \\ 2 & -1- x & 3 \\ 5 & 0 & -3-x} [/mm] = [mm] -x^3-x^2+18x+56
[/mm]
Mittels Gauß-Verfahren
B = [mm] \pmat{ 1 & a + b & a - b & a^2 - b^2 \\ 1 & a + b + 2 & 2a & 2a^2 - 2ab \\ 1 & a + b - 2 & 3 - 2b & 2ab - 2b^2 \\ -1 & -a - b & 3- a + b & 4 - a^2 + b^2}
[/mm]
Meine Umformungen:
-I+II [mm] \leadsto [/mm] II
-I+III [mm] \leadsto [/mm] III
I+IV [mm] \leadsto [/mm] IV
II+III [mm] \leadsto [/mm] III
(3/(2a-2b-3))*III+IV [mm] \leadsto [/mm] IV
Somit wirds aus [mm] \pmat{ 1 & a + b & a - b & a^2 - b^2 \\ 1 & a + b + 2 & 2a & 2a^2 - 2ab \\ 1 & a + b - 2 & 3 - 2b & 2ab - 2b^2 \\ -1 & -a - b & 3- a + b & 4 - a^2 + b^2} \leadsto \pmat{ 1 & a + b & a - b & a^2 - b^2 \\ 0 & 2 & -a+3b & a^2 + b^2 - 2ab \\ 0 & 0 & -2a + 2b + 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 }
[/mm]
det [mm] \pmat{ 1 & a + b & a - b & a^2 - b^2 \\ 0 & 2 & -a+3b & a^2 + b^2 - 2ab \\ 0 & 0 & -2a + 2b + 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 } [/mm] = 1*2*((-2a+2b+3)*4) = -16a+16b+24
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Di 14.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit
> a, b, x ∈ R
>
> A = [mm]\pmat{ 3-x & 2 & 1 \\ 2 & -1-x & 3 \\ 5 & 0 & -3-x}[/mm]
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & a + b & a-b & a^2-b^2 \\ 1 & a + b + 2 & 2a & 2a^2-2ab \\ 1 & a + b-2 & 3-2b & 2ab-2b^2 \\ -1 & -a-b & 3-a + b & 4-a^2 + b^2}[/mm]
>
>
> Mittels Regel von Sarrus
> A = [mm]\pmat{ 3-x & 2 & 1 \\ 2 & -1- x & 3 \\ 5 & 0 & -3-x}[/mm]
> = [mm]-x^3-x^2+18x+56[/mm]
Das ist O.K.
>
> Mittels Gauß-Verfahren
> B = [mm]\pmat{ 1 & a + b & a - b & a^2 - b^2 \\ 1 & a + b + 2 & 2a & 2a^2 - 2ab \\ 1 & a + b - 2 & 3 - 2b & 2ab - 2b^2 \\ -1 & -a - b & 3- a + b & 4 - a^2 + b^2}[/mm]
>
> Meine Umformungen:
> -I+II [mm]\leadsto[/mm] II
Da hast Du schon eine Fehler. Die neue 2. Zeile lautet:
0 2 a+b [mm] (a-b)^2
[/mm]
Zur Kontrolle: die Det. ist = 24 (unabhängig von a und b)
FRED
> -I+III [mm]\leadsto[/mm] III
> I+IV [mm]\leadsto[/mm] IV
> II+III [mm]\leadsto[/mm] III
> (3/(2a-2b-3))*III+IV [mm]\leadsto[/mm] IV
> Somit wirds aus [mm]\pmat{ 1 & a + b & a - b & a^2 - b^2 \\ 1 & a + b + 2 & 2a & 2a^2 - 2ab \\ 1 & a + b - 2 & 3 - 2b & 2ab - 2b^2 \\ -1 & -a - b & 3- a + b & 4 - a^2 + b^2} \leadsto \pmat{ 1 & a + b & a - b & a^2 - b^2 \\ 0 & 2 & -a+3b & a^2 + b^2 - 2ab \\ 0 & 0 & -2a + 2b + 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> det [mm]\pmat{ 1 & a + b & a - b & a^2 - b^2 \\ 0 & 2 & -a+3b & a^2 + b^2 - 2ab \\ 0 & 0 & -2a + 2b + 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 }[/mm]
> = 1*2*((-2a+2b+3)*4) = -16a+16b+24
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Di 14.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
[mm] (a-b)^2 [/mm] ist doch [mm] a^2+b^2-2ab
[/mm]
Ich habe die Matrix mit einem Onlinerechner nachgeprüft, es müsste also alles so stimmen.
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Hallo!
Die vierte Komponente ist auch korrekt, aber bei der dritten hast du dich verrechnet:
$-(a-b)+2a=-a+b+2a=a+b\ [mm] \red{\neq-a+3b}$
[/mm]
Ich habe die ursprüngliche(!) Matrix auch mal in Maxima eingegeben, ich komme ebenfalls auf eine Determinante von 24.
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