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| Aufgabe | | Berechnen der Determinante: [mm] \pmat{ 7 & 5 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 7 & 1 \\ 6 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 8 & 4 & 0} [/mm] |
Hallo,
ich weiß wie man eine Determinante berechnet, in dem Fall würde ich erst auf ein paar Nullen kürzen, in 3x3 Matrizen bringen udn dann die Regel von Sarrus anwenden. Mein Problem bei den Determinaten Aufgaben ist, dass ich fast nie auf das richtige Ergebnis komme und ich glaube das liegt daran, dass es einige kleine Regeln gibt die man beim Versuch mehr Nullen in die Determinate zu bringen beachten muss. Man kann ja dann Zeilen und Spalten voneinander abziehen um die Nullen zu erreichen, gibt es da was was ich beachten muss?
Wäre schön, wenn ihr mir die Erklärungen an der Beispielaufgabe machen könntet :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße Sophie
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Hallo Sophie,
es gibt ein - wie ich finde - ganz nettes pdf mit einer guten Zusammenfassung der Rechenregeln für Determinanten, und zwar hier:
www-user.tu-chemnitz.de/~benner/Lehre/HM1/DeterminantenRegeln.pdf
Versuchen wir das mal auf deine Matrix anzuwenden:
$ [mm] det\pmat{ 7 & 5 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 7 & 1 \\ 6 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 8 & 4 & 0} [/mm] $
Hier kann man zunächst aus der 4. Zeile den gemeinsamen Faktor $2$ "vor die Determinante ziehen"
[mm] $=2\cdot{} det\pmat{ 7 & 5 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 7 & 1 \\ 6 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & 2 & 0} [/mm] $
Man kann ohne die Determinante zu verändern ein beliebiges Vielfaches einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte addieren.
Also addieren wir mal das $(-2)$ -fache der 2.Zeile zur 3.Zeile
[mm] $=2\cdot{} det\pmat{ 7 & 5 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 7 & 1 \\ 0 & -7 & -10 & -1 \\ 1 & 4 & 2 & 0} [/mm] $
Nun noch die 3.Zeile zur 2.Zeile und auch zur 1.Zeile addieren...
[mm] $=2\cdot{} det\pmat{ 7 & -2 & -8 & 0 \\ 3 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & -7 & -10 & -1 \\ 1 & 4 & 2 & 0} [/mm] $
Und hier kannst du doch ganz bequem nach der 4.Spalte entwickeln gemäß Herrn Laplace und Herrn Sarrus
Kontrolle: [mm] $det\pmat{ 7 & 5 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 7 & 1 \\ 6 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 8 & 4 & 0}=2\cdot{} det\pmat{ 7 & -2 & -8 & 0 \\ 3 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & -7 & -10 & -1 \\ 1 & 4 & 2 & 0} [/mm] =-76 $
Das kannst du auch hier nachrechnen lassen:
www.mathetools.de
Dort im linken Reiter unter "Studium" und dann "Determinanten berechnen"
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 So 07.10.2007 | | Autor: | SophieAnn |
Vielen dank für die schnelle Antwort, der Link ist auf jedenfall sehr hilfreich, genau das was ich gesucht habe.
Aber eine Sache wäre da noch, kann man ohne die Determinante zu verändern ein beliebiges Vielfaches einer Zeile/Spalte von einer anderen Zeile/Spalte subtrahieren?
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Hallo Sophie,
ich würde mal sagen, dass sich dadurch das VZ der Determinante umdreht, denn das k-fache der i-ten Zeile/Spalte von der j-ten Zeile/Spalte zu subtrahieren ist ja nichts anderes, als das k-fache der i-ten Zeile/Spalte zum (-1)-fachen der j-ten Zeile/Spalte zu addieren.
Dazu musst du aber die j-te Zeile/Spalte mit (-1) multiplizieren.
Und das bewirkt die Multiplikation der Determinante mit (-1)
[mm] \red{EDIT}: [/mm] Das ist Unsinn ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") - s. unten
LG
schachuzipus
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Nee, das ist Quatsch....
Wenn du [mm] $Z_i-k\cdot{}Z_j$ [/mm] rechnest, ist das dasselbe wie [mm] $Z_i+(-k)\cdot {}Z_j$
[/mm]
Also wie eine Addition des -k-fachen einer Zeile zu einer anderen, also sollte die Determinante unverändert bleiben
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 So 07.10.2007 | | Autor: | SophieAnn |
Hmm, dann frage ich mich was ich falsch mache, wenn addieren und subtrahieren der Zeilen/Spalten erlaubt ist, genauso wie das multipizieren der Zeilen/Spalten, muss ich nochmal genau schauen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Sa 03.11.2007 | | Autor: | jura |
hallo!
du sagst, man "kann bequem nach der 4. spalte entwickeln"- was genau meinst du damit?- ich habe dann einfach die unterdeterminanten eingeführt, durch die vielen nullen geht das dann recht schnell und ich komme auch aufs richtige ergebnis. doch du meinst mit der 4.spalte und ganz bequem sicher noch etwas anderes???
die regel von sarrus haben wir ja auch kennen gelernt, doch was hat der gute herr laplace denn herausgefunden?
grüße, jule
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Hallo Jule,
> hallo!
> du sagst, man "kann bequem nach der 4. spalte entwickeln"-
> was genau meinst du damit?
Na, da ist doch nur eine einzige [mm] $3\times [/mm] 3$ - Untermatrix zu berechnen nach Sarrus, weil die 3 anderen Koeffizienten in der 4.Spalte =0 sind
- ich habe dann einfach die
> unterdeterminanten eingeführt, durch die vielen nullen geht
> das dann recht schnell und ich komme auch aufs richtige
> ergebnis. doch du meinst mit der 4.spalte und ganz bequem
> sicher noch etwas anderes???
Nein, das meine ich damit, das Ergebnis erhält man doch durch diese Umformungen erheblich schneller und bequemer, als wenn man direkt die Ausgangsmatrix nach irgendeiner Zeile oder Spalte entwickelt. Da muss man ja mindestens 3 dieser [mm] $3\times [/mm] 3$ - Untermatrizen explizit berechnen.
Da berechne ich lieber nur eine 
> die regel von sarrus haben wir ja auch kennen gelernt,
> doch was hat der gute herr laplace denn herausgefunden?
Na, du kannst die [mm] $3\times [/mm] 3 $ - Untermatrix natürlich auch nach Laplace entwickeln, aber es gibt ja für diesen Matrizentyp extra die Sarrusregel, um die Rechnung abzukürzen...
> grüße, jule
Ebenso
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:36 Sa 03.11.2007 | | Autor: | jura |
ok, also ich vermute nun ganz einfach mal, meine 3 [mm] \times3 [/mm] matrix lautet in diesem falle dann [mm] \vmat{7&-2&-8\\3&-2&-3\\1&4&2} [/mm] ??? stimmt das, denn ich habe ja keine komplette 4.spalte aus nullen-oder tauscht man das noch???
cool, das hatte wir bisher noch gar nicht (haben ja auch erst angefangen mit diesem spannenden thema...)- also vielen dank! aber kannst du mir evtl mal noch die genaue regel nennen/erklären, nach der man hier so umformen darf und so nur noch die [mm] 3\times [/mm] 3 matrix zu berechnen hat?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mo 05.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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