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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Determinanten von Matrizen
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Determinanten von Matrizen: Aufgabe 20
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mo 02.06.2008
Autor: tricki

Aufgabe
Aufgabe 20
Seien A und B reguläre (n, n) - Matrizen. Drücken Sie, wenn
möglich, die folgenden Determinanten durch die Determinanten von A und
B aus:

a) det(5A), b) det(-B)
c) det((-B)5), d) [mm] det(BA^{-1}) [/mm]
e) det(B - A).

Vielleicht kann mir Jemand helfen und sage was ich hier machen soll?
Eine Lösung, ein Lösungsansatz wäre schön
        
Bezug
Determinanten von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Mo 02.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Aufgabe 20
> Seien A und B reguläre (n, n) - Matrizen. Drücken Sie,
> wenn
>  möglich, die folgenden Determinanten durch die
> Determinanten von A und
>  B aus:
>  
> a) det(5A), b) det(-B)
>  c) det((-B)5), d) [mm]det(BA^{-1})[/mm]
>  e) det(B - A).
>  Vielleicht kann mir Jemand helfen und sage was ich hier
> machen soll?
>  Eine Lösung, ein Lösungsansatz wäre schön

Ich denke, dass du folgende Sätze anwenden kannst:

Wenn A eine reguläre (n, n)-Matrix und k [mm] \in \IR, [/mm] so ist  [mm]\ det(k*A) = k*det(A) [/mm]    [notok]  [kopfschuettel]    

KORREKTUR:

Dies muss richtig heissen:     [mm]\ det(k*A) = k^n*det(A) [/mm]

siehe Antwort von Teufel !  

Wenn A und B reguläre (n, n)-Matrizen sind, so ist   [mm]\ det(A*B) = det(A)*det(B) [/mm]

Die Einheitsmatrix  [mm] E_n [/mm] hat die Determinante  [mm] det(E_n) [/mm] = 1


Gruß    al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Determinanten von Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:07 Mo 02.06.2008
Autor: Teufel

Hallo!

Ich habe nur geringe Kenntnisse über Matrizen/Determinanten, aber müsste müsste das nicht [mm] det(k*A)=k^n*det(A) [/mm] sein, wenn A eine (n,n)-Matrix ist?

[anon] Teufel
Bezug
                        
Bezug
Determinanten von Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 Mo 02.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo!
>  
> Ich habe nur geringe Kenntnisse über
> Matrizen/Determinanten, aber müsste müsste das nicht
> [mm]det(k*A)=k^n*det(A)[/mm] sein, wenn A eine (n,n)-Matrix ist?
>  
> [anon] Teufel


Oh je, du hast natürlich Recht !  Sorry, auch ich mache noch Fehler...     al-Ch.

Bezug
                
Bezug
Determinanten von Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Mo 02.06.2008
Autor: tricki

Wenn ich dann also den 1.Satz benutze, wird bei det(5A) zu 5*det(A)
wäre das dann eine Lösung oder wie?
Aber wie sieht das dann bei det(B-A) aus?
Bezug
                        
Bezug
Determinanten von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Mo 02.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo tricki,

> Wenn ich dann also den 1.Satz benutze, wird bei det(5A) zu
> 5*det(A) [notok]

siehe Teufels Einwand.

In der [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix [mm] $k\cdot{}A$ [/mm] steckt ja in jeder der n Zeilen der dranmultiplizierte Skalar k, also kannst du ihn n-fach "rausziehen", pro Zeile als Faktor einmal, dh.

[mm] $det(k\cdot{}A)=\underbrace{k\cdot{}k\cdot{} ... \cdot{}k}_{n-mal}\cdot{}det(A)=k^n\cdot{}A$ [/mm]

Hier also $det(5A)=5^ndet(A)$


Schaue mal []hier, da sind die Rechenregeln für Determinanten nochmal schön zusammengefasst


>  wäre das dann eine Lösung oder wie?
>  Aber wie sieht das dann bei det(B-A) aus?

Soweit mir bekannt, kannst du i.A. die Determinante einer Summe nicht summandenweise aufspalten, also iA. ist [mm] $det(A+B)\neq [/mm] det(A)+det(B)$

Aber in der Aufgabenstellung steht ja auch "..., wenn möglich ..." ;-)


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Determinanten von Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Mo 02.06.2008
Autor: patsch

zu c)
[mm] det((-B)^5)=(-1)^n(det (B))^5 [/mm]

zu d)
[mm] det(BA^{-1})=\bruch{det(B)}{det(A)} [/mm]
Bezug
                                        
Bezug
Determinanten von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mo 02.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> zu c)
>  [mm]det((-B)^5)=(-1)^n(det (B))^5[/mm]        [ok]
>  
> zu d)
> [mm]det(BA^{-1})=\bruch{det(B)}{det(A)}[/mm]      [ok]

richtig.



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