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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 15.01.2009 | | Autor: | MartinP |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante der Matrix.
[mm] \pmat{ 9 & -5 & 1 & 17 & -1 \\ -11 & 2 & 0 & 23 & 0 \\ \pi & \wurzel{2} & 2 & 0 & -2 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & -5 \\ -7 & 7 & -4 & 97 & 4} [/mm] |
Ich wüsste gerne, ob meine bisherige Vorgehensweise und die Zwischenergebnisse richtig sind.
(i) zunächst ziehe ich die 9 zur Vereinfachung aus der ersten Zeile raus.
Somit entsteht:
9 [mm] \vmat{ 1 & -5/9 & 1/9 & 17/9 & -1/9 \\ -11 & 2 & 0 & 23 & 0 \\ \pi & \wurzel{2} & 2 & 0 & -2 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & -5 \\ -7 & 7 & -4 & 97 & 4}
[/mm]
(ii) als nächstes erzeuge ich in der ersten Spalte 0en unter der 1:
9 [mm] \vmat{ 1 & -5/9 & 1/9 & 17/9 & -1/9 \\ 0 & -37/9 & 11/9 & 394/9 & -11/9 \\ 0 & 5/9*\wurzel{2}*\pi & 2-\pi/9 & -17/9*\pi & \pi/9-2 \\ 0 & 70/9 & 40/9 & -40/9 & -40/9 \\ 0 & 28/9 & -29/9 & 992/9 & 29/9 }
[/mm]
(iii) danach eliminiere ich die erste Zeile und Spalte indem ich die 1 von [mm] a_1_1 [/mm] rausziehe und mit [mm] (-1)^{1+1} [/mm] multipliziere.
zur weiteren Vereinfachung ziehe ich gleich aus jeder Zeile 1/9 heraus:
[mm] 9*\bruch{1}{9}*\bruch{1}{9}*\bruch{1}{9}*\bruch{1}{9}*(-1)^{1+1} \vmat{ -37 & 11 & 394 & -11 \\ 5*\wurzel{2}*\pi & 18-\pi & -17*\pi & \pi-18 \\ 70 & 40 & -40 & -40 \\ 28 & -29 & 992 & 29 }
[/mm]
(iv)danach ziehe ich aus der ersten Zeile 37 und aus der 3. Zeile die 10 heraus:
[mm] (\bruch{1}{9})^{3}*10*\bruch{1}{37} \vmat{ -1 & 11/37 & 394/37 & -11/37 \\ 5*\wurzel{2}*\pi & 18-\pi & -17*\pi & \pi-18 \\ 7 & 4 & -4 & -4 \\ 28 & -29 & 992 & 29 }
[/mm]
(v) danach werden in der ersten Spalte wieder 0en unter der -1 erzeugt:
[mm] (\bruch{1}{9})^{3}*\bruch{10}{37} \vmat{ -1 & 11/37 & 394/37 & -11/37 \\ 0 & (18-\pi)*(5*\wurzel{2}*\pi *17/37) & -17\pi*(5*\wurzel{2}*\pi*394/37) & (\pi-18)*(5*\wurzel{2}*\pi*-17/37) \\ 0 & 267/37 & 2610/37 & -267/37 \\ 0 & -597/37 & 47736/37 & 597/37 }
[/mm]
(vi) danach dann wieder die stelle [mm] a_1_1 [/mm] ,also -1 rausziehen und die erste Spalte und erste Zeile eliminieren. Somit entsteht eine 3x3 Matrix und man kann die Regel von Sarrus anwenden (vorher am besten noch [mm] 5*\wurzel{2}*\pi [/mm] aus der 1. Zeile der 3x3 Matrix rausziehen).
Meine Frage ist nun: Ist das ganze soweit richtig, oder gibt es noch einen einfacheren Weg? Wie üblich soll man ja keinen Taschenrechner verwenden, aber bei dieser Aufgabe ist es mir schwer gefallen mich daran zu halten von daher dachte ich ja an einen einfacheren Weg, aber Sarrus kann man ja bei der Ursprungsmatrix noch nicht anwenden, weil es ja eine 5x5 Matrix ist, aber nur bei 3x3 und 2x2 funktionieren würde.
Danke schonmal im Voraus
LG MartinP
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Hallo!
Es wird NIE jemand von dir verlangen, solch eine Determinante wirklich auszurechnen! Dafür gibt es Computerprogramme. Meins hat mir übrigens gerade 0 ausgegeben, wie ich es erwartet hatte. Was bedeutet das, wenn bei der Determinante 0 rauskommt?
Guck dir mal die Spalten an und überlege nochmal, ob du wirklich rechnen musst!
Grüße,
Stefan.
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Bevor du solche Determinanten ausrechnest, schau dir die Zeilen und Spalten genau an!
Du siehst sofort, dass die letzte und dritte Spalte lin. abhängig sind, also muss die Determinante Null sein.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Do 15.01.2009 | | Autor: | MartinP |
Vielen Dank.
Ich hab einfach drauflosgerechnet, ohne zu vorher darauf zu achten, ob irgendwelche Spalten abhängig voneinander sind. Aber war ja mal ein ganz gutes Training.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Do 15.01.2009 | | Autor: | Lenchen89 |
Öhm... ich hab auch einfach drauf losgerechnet, aber mit dem Entwicklungssatz - war seeeehr umständlich ^^ aber ich bin auch auf Null gekommen
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