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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Sa 02.06.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper und [mm] $A=[a_{ij}] \in K^{n,n}$ [/mm] mit [mm] $a_{ij}=\bruch{1}{x_{i}+y_{j}}$ [/mm] für gewisse [mm] $x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n} \in [/mm] K$. (Insbesondere gilt also [mm] $x_{i}+y_{j}\not=0$ [/mm] für alle $i,j$).
Zeigen Sie, dass
[mm] $\det(A)=\bruch{\produkt_{1 \le i < j \le n }(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\produkt_{i,j=1}^{n}(x_{i}+y_{j})}$
[/mm]
gilt. |
Hey,
sitze gerade an obiger Aufgabe und da ich nicht wirklich weiß wie ich diese anpacken soll, habe ich erstmal getestet- nach dem Motto "erst mal schauen, ob das überhaupt stimmt - sicher ist sicher". Also habe ich das Ganze für eine 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrix probiert. (Es stimmt für die getestete Matrix)
Und nun zu meiner Frage, reicht es, wenn ich quasi wie bei der vollständigen Induktion, dass erst für ne 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrix und dann für eine 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix zeige. (Generell: Kann man sowas machen, oder würde es nicht als Beweis durchgehen?)
Oder geht es simpler (und verständlich)??
Mia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo silfide,
> sitze gerade an obiger Aufgabe und da ich nicht wirklich
> weiß wie ich diese anpacken soll, habe ich erstmal
> getestet- nach dem Motto "erst mal schauen, ob das
> überhaupt stimmt - sicher ist sicher". Also habe ich das
> Ganze für eine 2 [mm]\times[/mm] 2 Matrix probiert. (Es stimmt für
> die getestete Matrix)
Okay, das ist gut und vernünftig, da man so wichtige Beweis-Ideen erhält.
> Und nun zu meiner Frage, reicht es, wenn ich quasi wie bei
> der vollständigen Induktion, dass erst für ne 2 [mm]\times[/mm] 2
> Matrix und dann für eine 3 [mm]\times[/mm] 3 Matrix zeige.
> (Generell: Kann man sowas machen, oder würde es nicht als
> Beweis durchgehen?)
Die vollständige Induktion ist ein weltweit anerkannte Beweisverfahren  , und kann hier sicher angewendet werden.
Übrigens würde ich die Induktion dann aber bei $n=1$ beginnen, denn die Formel soll ja auch dafür gelten.
> Oder geht es simpler (und verständlich)??
Das sehe ich im Augenblick nicht.
Viel Erfolg bei der Induktion
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 02.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Mark,
danke für die Antwort.
Zu n=1... Wenn ich mir eine 1 [mm] \times [/mm] 1 Matrix bastel, wie komme ich denn da auf die Determinante?? (Vermutlich trivial, aber nie gemacht!)
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Mia,
> Zu n=1... Wenn ich mir eine 1 [mm]\times[/mm] 1 Matrix bastel, wie
> komme ich denn da auf die Determinante?? (Vermutlich
> trivial, aber nie gemacht!)
Die Determinante einer [mm] $1\times [/mm] 1$ Matrix ist der Eintrag selbst, also
[mm] $\det (a_{11})=a_11$ [/mm]
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 02.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hatte einen Fehler in die Aufgabenstellung getippt:
Zu zeigen ist
[mm] det(A)=\bruch{\produkt_{1 \le i < j \le n }(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\produkt_{i,j=1}^{n}(x_{i}+y_{i})}$
[/mm]
gilt.
also i<j und damit wäre für n=1 die Formel, welche zu zeigen ist, nicht anwendbar. Kann ich trotzdem Induktion benutzen??
Oder wie kann ich es zeigen??
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Mia,
> Hatte einen Fehler in die Aufgabenstellung getippt:
>
> Zu zeigen ist
> [mm]det(A)=\bruch{\produkt_{1 \le i < j \le n }(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\produkt_{i,j=1}^{n}(x_{i}+y_{i})}$[/mm]
>
> gilt.
>
> also i<j und damit wäre für n=1 die Formel, welche zu
> zeigen ist, nicht anwendbar.
Ja, das macht nun Sinn.
> Kann ich trotzdem Induktion
> benutzen??
Ja, du hast dir den Induktionsanfang für $n=2$ doch offenbar schon überlegt.
Im Induktionsschritt musst du ja die Determinante einer [mm] $(n+1)\times(n+1)$-Matrix [/mm] berechnen. Das würde ich mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz machen und nach z.B. der letzten Spalte entwickeln. Auf alle $n$ Determinanten der [mm] $x\times [/mm] n$-Matrizen lässt sich die Induktionsvoraussetzung anwenden, da in den Einträgen genau ein [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $y_j$ [/mm] fehlt.
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 02.06.2012 | | Autor: | silfide |
Super, an Laplace habe ich auch schon gedacht für die 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrize.
Bin dir echt dankbar.
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Mia,
> Hatte einen Fehler in die Aufgabenstellung getippt:
>
> Zu zeigen ist
> [mm]det(A)=\bruch{\produkt_{1 \le i < j \le n }(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\produkt_{i,j=1}^{n}(x_{i}+y_{i})}$[/mm]
>
> gilt.
>
> also i<j und damit wäre für n=1 die Formel, welche zu
> zeigen ist, nicht anwendbar.
Mir fiel gerade ein, dass die Formel natürlich auch für $n=1$ anwendbar ist und daher der Induktionsanfang auch durch aus bei $n=1$ liegen sollte.
Für $n=1$ entsteht im Zähler des Bruchs ein leeres Produkt, das vereinbarungsgemäß den Wert 1 hat.
> Kann ich trotzdem Induktion
> benutzen??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 02.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marc,
> Mir fiel gerade ein, dass die Formel natürlich auch für
> [mm]n=1[/mm] anwendbar ist und daher der Induktionsanfang auch durch
> aus bei [mm]n=1[/mm] liegen sollte.
>
> Für [mm]n=1[/mm] entsteht im Zähler des Bruchs ein leeres Produkt,
> das vereinbarungsgemäß den Wert 1 hat.
Das wäre natürlich klasse, wenn das funktioniert - allerdings komme ich immer auf [mm] \bruch{0}{1}.
[/mm]
Weil:
[mm] \bruch{(x_{1}-x_{1})(y_{1}-y_{1})}{(x_{1}+y_{1})}
[/mm]
Vermutlich ist das falsch!
Kannst du mir das mit dem leeren Produkt mal zeigen??
Sitze nämlich gerade an Laplace und da kann man sich ja tot rechnen/schreiben...
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Mia,
> > Mir fiel gerade ein, dass die Formel natürlich auch für
> > [mm]n=1[/mm] anwendbar ist und daher der Induktionsanfang auch durch
> > aus bei [mm]n=1[/mm] liegen sollte.
> >
> > Für [mm]n=1[/mm] entsteht im Zähler des Bruchs ein leeres Produkt,
> > das vereinbarungsgemäß den Wert 1 hat.
>
> Das wäre natürlich klasse, wenn das funktioniert -
Also, klasse würde ich das nun nicht nennen, der Induktionsanfang ist nur etwas einfacher geworden.
> allerdings komme ich immer auf [mm]\bruch{0}{1}.[/mm]
> Weil:
>
> [mm]\bruch{(x_{1}-x_{1})(y_{1}-y_{1})}{(x_{1}+y_{1})}[/mm]
>
> Vermutlich ist das falsch!
> Kannst du mir das mit dem leeren Produkt mal zeigen??
Die Formel, die zu beweisen ist, lautet ja:
[mm] $\det(A)=\bruch{\produkt_{1 \le i < j \le n }(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\produkt_{i,j=1}^{n}(x_{i}+y_{i})}$
[/mm]
Für n=1 ergibt sich:
[mm] $\det(A)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\produkt_{1 \le i < j \le 1 }(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\produkt_{i,j=1}^{1}(x_{i}+y_{i})}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{(x_{1}+y_{1})}$, [/mm] da es für das Produkt im Zähler kein einziges Paar $(i,j)$ gibt mit $1<i<j<1$. Das meinte ich mit "leerem Produkt", es hat den definierten Wert 1 (analog zur leeren Summe, die den definierten Wert 0 hat).
Vielleicht noch ein Beispiel:
[mm] $\produkt_{k=1}^2 [/mm] k=1*2$, [mm] $\produkt_{k=1}^1 [/mm] k=1$ und [mm] $\produkt_{k=1}^0 [/mm] k=1$
[mm] $\summe_{k=1}^2 [/mm] k=1+2$, [mm] $\summe_{k=1}^1 [/mm] k=1$ und [mm] $\summe_{k=1}^0 [/mm] k=0$
> Sitze nämlich gerade an Laplace und da kann man sich ja
> tot rechnen/schreiben...
Laplace musst du aber doch im Induktionsschritt anwenden, bei den Überlegungen zu n=1 ging es aber um den Induktionsanfang.
Ich sehe da aber keine Alternative zu Laplace im Induktionsschritt oder überhaupt zur Induktion -- vielleicht jemand anderes hier im Forum?
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Sa 02.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marc,
bei der 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrix, habe ich quasi von hinten angefangen und verwende das det(A)=a*d-b*c ist. Und wenn ich bei n=1 anfange, dann kann ich mir die 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix beim Induktionsschritt sparen.
Als du das leere Produkt nanntest, habe ich mir natürlich gleich erstmal angeschaut, was du meinst - allerdings gelang es mir nicht, das zu übertragen.
Ich schaue nochmal rauf, schreib alles auf und schlafe drüber - bringt vllt. was. ...
Ich danke dir!
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Mia,
> bei der 2 [mm]\times[/mm] 2 Matrix, habe ich quasi von hinten
> angefangen und verwende das det(A)=a*d-b*c ist.
> Und wenn
> ich bei n=1 anfange, dann kann ich mir die 3 [mm]\times[/mm] 3
> Matrix beim Induktionsschritt sparen.
Nein, das ist doch dann kein Induktionsschritt (I.S.).
In der Induktionsvoraussetzung (I.V.) nimmt man an, dass die Formel für ein bestimmtes (aber nicht näher spezifiziertes) $n$ bereits gelte. Im I.S. folgerst du dann aus der I.V., dass die Formel auch für $n+1$ gilt.
> Als du das leere Produkt nanntest, habe ich mir natürlich
> gleich erstmal angeschaut, was du meinst - allerdings
> gelang es mir nicht, das zu übertragen.
>
> Ich schaue nochmal rauf, schreib alles auf und schlafe
> drüber - bringt vllt. was. ...
Was anderes zu machen als sich mit dem Problem zu beschäftigen kann ich nur empfehlen. Das mit der Gültigkeit der Formel für n=1 ist mir unter der Dusche eingefallen, obwohl ich da nicht wirklich über Mathematik nachgrübele...
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Sa 02.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marc,
ja, logisch im IS wird n+1 betrachtet... okay... schade... wollte mir gerade Arbeit sparen :-P. Habe nämlich noch ganz viele lustige Aufgaben.. als wenn du wieder Stoff für unter der Dusche brauchst... *schepass*
Ich stelle frühstens Morgen wieder Fragen...
Danke!
Mia
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:31 So 03.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo,
leider ist noch mehrmaligen unfruchtbaren Versuchen immer noch nix Brauchbares zu stande gekommen. (Schon die Indizes machen mich fertig)
Hat jemand vllt. ne Idee wie ich Laplace's Entwicklungssatz in den IS bringen kann. Oder ob es doch anderes gehen könnte??
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 So 03.06.2012 | | Autor: | WWatson |
Hallo, silfide,
also, Du nimmst an, dass Deine Behauptung für k (d.h. für eine kxk-Matrix) gilt, das ist dann Deine Induktionsvoraussetzung. Jetzt willst Du im Induktionsschritt daraus schließen, dass die Behauptung auch für k+1 richtig ist.
Das läuft dann so, dass Du auf Deine (k+1)x(k+1)-Matrix einmal Laplace anwendest. Das liefert Dir ja dann wiederum kxk-Matrizen, von denen Du aber nach Induktionsvoraussetzung bereits weißt, dass die Formel für diese auf jeden Fall gültig ist.
Viele Grüße,
WWatson
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 05.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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