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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Determinate:
a) [mm] \forall \lambda \in K^{n x n}: det(\lambda [/mm] A) = [mm] \lambda^{n} [/mm] det(A)
b)Entsteht B aus A durch einen Spalten- oder Zeilentauschung, so ist det(B) =- det (A) |
Hi,
also die a) habe ich so probiert zu beweisen':
Sei A = ( [mm] a^{1}, [/mm] ..., [mm] a^{n}) [/mm] mit [mm] a^{i} \in K^{n} [/mm] => [mm] \lambda [/mm] A = [mm] (\lambda a^{1}, [/mm] ..., [mm] \lambda a^{n})
[/mm]
[mm] det(\lambda [/mm] A) = [mm] det(\lambda a^{1}, [/mm] ..., [mm] \lambda a^{n}) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] det( [mm] a^{1},\lambda a^{2}, [/mm] ..., [mm] \lambda a^{n})
[/mm]
=...= [mm] (\lambda)^{n} [/mm] det( [mm] a^{1}, [/mm] ..., [mm] a^{n}) [/mm] = [mm] (\lambda)^{n} [/mm] det(A)
Bei der b) weiß ich nicht recht wie ich es formal richtig aufschreiben soll. Ich weiß das durch einen Zeile- bzw. Spaltentausch einen zusätzliche Permutation dazukommt wodurch der Faktor -1 hinzukommt.Aber wie ich das allg. darstellen soll, weiß ich nicht so recht.
Dachte da an sowas wie:
det A= [mm] \summe_{\delta \in S_{n}}^{} sng(\delta) a_{1,\delta (1)}*...*a_{n,\delta (n)}
[/mm]
Sei [mm] \pi [/mm] die Transposition die genau zwei Zeilen miteinander vertauscht.
=> det B = [mm] sgn(\pi [/mm] ) [mm] \summe_{\delta \in S_{n}}^{} sng(\delta) a_{\pi (1),\delta (1)}*...*a_{\pi (n),\delta (n)}
[/mm]
Weil [mm] \pi [/mm] ungerade ist folg [mm] sgn(\pi [/mm] ) = -1
=> det B = -1 [mm] \summe_{\delta \in S_{n}}^{} sng(\delta) a_{\pi (1),\delta (1)}*...*a_{\pi (n),\delta (n)}
[/mm]
ist jetzt du übrigstehende Summe = det A?
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hi
lambda soll aber ein skalar sein , oder ?
beide eigenschaften folgen aus der formalen definition der det (normierte alternierende multilinearform)
a) sieht richtig aus, falls lambda ein skalar ist.
b) folgt daraus , dass det alternierend ist.
gruß
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Ja [mm] \lambda [/mm] ist natürlich ein Skalar.
Zu b) was kann ich denn damit dann anfangen ,dass det alternierend ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 26.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hi
alternierend bedeutet , dass det 0 wird wenn die matrix zwei gleiche
spalten hat !
im folgenden seien die spalten die nicht erwähnt werden gleich:
[mm] det(..,a_i+a_j,...,a_j+a_i,...)=0
[/mm]
daraus folgt mit der linearität in jeder spalte:
det(...,ai,..,aj,..)+det(...,ai,...ai,..)+det(..,aj,...,ai,..)+det(..,aj,..,aj,...)=0
den est bekommst du dann selbst hin ;)
gruß
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In der Aufgabenstellung steht ja in Klammer auch für Zeile. Kann ich da um mir Schreibarbeit zu sparen einfach sagen, dass durch Transponieren der Spalten sich analog das selber für Zeilen ergibt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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