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| Aufgabe | Es sei X ein K-VR der Dimension n und [mm] \Delta: X^{n} \to [/mm] K eine n-fache Linearform. Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) [mm] \Delta(x_{1},...,x_{n}) [/mm] = 0, falls unter den Vektoren [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] zwei gleiche sind.
(b) [mm] \Delta(x_{1},...,x_{n}) [/mm] = 0, falls [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] linear abhängig sind. |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe vor mir, es wäre super, wenn jemand von euch mir etwas Hilfestellung dazu geben könnte.
Diesen Beweis habe ich, aber irgendwie hilft mir das nicht weiter:
Für eine Determinantenform [mm] \Delta [/mm] von X gilt: [mm] \Delta(x_{1},...,x_{n}) [/mm] = 0 [mm] \gdw x_{1},...,x_{n} [/mm] linear abhängig.
[mm] \Leftarrow
[/mm]
nach Definition einer Determinantenform klar.
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Wäre [mm] \Delta(x_{1},...,x_{n}) [/mm] = 0 für linear unabhängige [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] (dann ist [mm] (x_{1},...,x_{n}) [/mm] Basis von X), so wäre nach [mm] \Delta(x_{1},...,x_{n}) [/mm] = [mm] (\summe_{\pi \in S_{n}} sgn\pi x_{1\pi(1)}...x_{n\pi(n)}) \Delta(a_{1},...,a_{n}) [/mm]
[mm] \Delta(y_{1},...,y_{n}) [/mm] = 0 für beliebige Vektoren [mm] y_{1},...,y_{n} \in [/mm] X im Widerspruch zu "Es gibt Vektoren [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] aus X mit [mm] \Delta(x_{1},...,x_{n}) \not= [/mm] 0" (Definition einer Determinantenform).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Do 21.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Es sei X ein K-VR der Dimension n und [mm]\Delta: X^{n} \to[/mm] K
> eine n-fache Linearform. Man zeige, dass folgende Aussagen
> äquivalent sind:
>
> (a) [mm]\Delta(x_{1},...,x_{n})[/mm] = 0, falls unter den Vektoren
> [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] zwei gleiche sind.
>
> (b) [mm]\Delta(x_{1},...,x_{n})[/mm] = 0, falls [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm]
> linear abhängig sind.
> Hallo,
>
> ich habe folgende Aufgabe vor mir, es wäre super, wenn
> jemand von euch mir etwas Hilfestellung dazu geben
> könnte.
> Diesen Beweis habe ich, aber irgendwie hilft mir das nicht
> weiter:
>
> Für eine Determinantenform [mm]\Delta[/mm] von X gilt:
> [mm]\Delta(x_{1},...,x_{n})[/mm] = 0 [mm]\gdw x_{1},...,x_{n}[/mm] linear
> abhängig.
Stop. Gleich hier. In obiger Aufgabe ist dein [m]\Delta[/m] keine Determinanteform, sondern nur multi-linear. Du musst hier die Äquivalenz der zwei Aussagen zeigen.
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 So 24.01.2010 | | Autor: | simplify |
hallo,
ich hab dazu auch mal eine frage.
wenn es sich nicht um eine determinantenform handelt,dann weis ich noch weniger was ich dort zeigen soll.
kann mir das vielleicht jemand erklären?
den unterschied den ich dort sehe ist doch nur,dass ich die äquivalenz zwischen linera abhängige vektoren gdw. zwei vektoren gleich sind!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 So 24.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> wenn es sich nicht um eine determinantenform handelt,dann
> weis ich noch weniger was ich dort zeigen soll.
> kann mir das vielleicht jemand erklären?
Naja die Äquivalenz von der ersten und der zweiten Aussage - und das für eine n-fach lineare Abbildung. Wenn die Abbildung 1. erfüllt, erfüllt sie 2. Wenn sie 2. erfüllt, erfüllt sie 1.
> den unterschied den ich dort sehe ist doch nur,dass ich
> die äquivalenz zwischen linera abhängige vektoren gdw.
> zwei vektoren gleich sind!?
Beim einen ist es 0 bei linear abhängigen Vektoren; das erste ist ein Spezialfall, der aber tatsächlich ausreicht.
SEcki
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