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Forum "Determinanten" - Determinantenherleitung
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Determinantenherleitung: Determinante mit 3 Variablen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Sa 06.12.2008
Autor: MaggieL

Aufgabe
Herleitung einer Determinante mit 3 Variablen

Hab jetzt ein neues Problem:
Muss eine Determinante mit 3 Variablen herleiten können.
Hab das ganze Netz durchforscht, finde nirgendwo etwas.
Könntet ihr mir bitte helfen?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke

        
Bezug
Determinantenherleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Sa 06.12.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

Uni oder Schule?

Schule:

Naja, nimm ein lineares LGS an mit

[mm] $a_{1}*x+b_{1}*y+c_{1}*z [/mm] = [mm] d_{1}$ [/mm]
[mm] $a_{2}*x+b_{2}*y+c_{2}*z [/mm] = [mm] d_{2}$ [/mm]
[mm] $a_{3}*x+b_{3}*y+c_{3}*z [/mm] = [mm] d_{3}$ [/mm]

Das LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix [mm] \not= [/mm] 0 ist.

[mm] $\det\pmat{ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} } \not= [/mm] 0$

Mit Hilfe vom Gauß-Algorithmus musst du nun bestimmen, für welche a,b,c keine eindeutige Lösung existiert.

Fange so an:

[mm] $a_{1}*x+b_{1}*y+c_{1}*z [/mm] = [mm] d_{1}$ |*(-a_{2}) [/mm]
[mm] $a_{2}*x+b_{2}*y+c_{2}*z [/mm] = [mm] d_{2}$ |*(a_{1}) [/mm]
[mm] $a_{3}*x+b_{3}*y+c_{3}*z [/mm] = [mm] d_{3}$ [/mm]

--> Additionsverfahren Zeile1 + Zeile2

[mm] $(a_{1}*b_{2}-a_{2}*b_{1})*y+(a_{1}*c_{2}-a_{2}*c_{1})*z [/mm] = [mm] d_{1}'$ [/mm]   (I)


[mm] $a_{1}*x+b_{1}*y+c_{1}*z [/mm] = [mm] d_{1}$ |*(-a_{3}) [/mm]
[mm] $a_{2}*x+b_{2}*y+c_{2}*z [/mm] = [mm] d_{2}$ [/mm]
[mm] $a_{3}*x+b_{3}*y+c_{3}*z [/mm] = [mm] d_{3}$ |*(a_{1}) [/mm]

(die rechte Seite ist für diese Berechnung irrelevant)

--> Additionsverfahren Zeile1 + Zeile3

[mm] $(a_{1}*b_{3}-a_{3}*b_{1})*y+(a_{1}*c_{3}-a_{3}*c_{1})*z [/mm] = [mm] d_{2}'$ [/mm]    (II)

Und nun noch einmal so geeignet mit den Gleichungen (I) und (II) hantieren, dass auf der linken Seite y verschwindet. Dann hast du eine Gleichung der Form

D*z = d''

Und dann ist D genau die Determinante, weil wenn D  hier 0 wäre, steht da entweder eine falsche Aussage (0 = d'' [mm] \not= [/mm] 0) oder eine wahre Aussage (0 = d'' = 0) unabhängig von z.

Uni: Einfach in die Leibniz-Formel einsetzen, wenn ihr die schon hattet...

Grüße,
Stefan.

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