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| Aufgabe | a) Für welche [mm] a,b\in\IR [/mm] ist A invertiertbar
[mm] A=\pmat{ a & 2 & a\\ 3 & 2& b\\ 3 & 2 & 4 }
[/mm]
b)
Berechnen Sie das Volumen des durch
u=(2,-3,1)
v=(-1,0,4)
w=(1,2,3)
am Punkt A=(0,0,0) aufgespannten Parallelopipdes sowie den Inhalt der von u,v aufgespannten Seitenfläche. Ist (u,v,w) ein Rechtssystem? |
b)
[mm] V=|det(u,v,w)|=\left|det\pmat{ 2 & -1 & 1\\ -3 & 0&2\\ 1 &4 & 3 }\right|=|-39|=39
[/mm]
Inhalt der von u,v aufgespannten Seitenfläche ist:
[mm] A=|u\times{v}|=\left|\vektor{2 \\ -3\\ 1}\times\vektor{-1 \\ 0\\ 4}\right|=\left|\vektor{-12 \\-9\\ -3}\right|=3\wurzel{26}
[/mm]
(u,v,w) ist kein Rechtssystem, sondern ein Linkssystem, weil det(u,v,w)<0 ist
Stimmt die Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Sa 14.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> a) Für welche [mm]a,b\in\IR[/mm] ist A invertiertbar
>
> [mm]A=\pmat{ a & 2 & a\\ 3 & 2& b\\ 3 & 2 & 4 }[/mm]
>
> b)
>
> Berechnen Sie das Volumen des durch
>
> u=(2,-3,1)
>
> v=(-1,0,4)
>
> w=(1,2,3)
>
> am Punkt A=(0,0,0) aufgespannten Parallelopipdes sowie den
> Inhalt der von u,v aufgespannten Seitenfläche. Ist (u,v,w)
> ein Rechtssystem?
>
>
> b)
>
> [mm]V=|det(u,v,w)|=\left|det\pmat{ 2 & -1 & 1\\ -3 & 0&2\\ 1 &4 & 3 }\right|=|-39|=39[/mm]
>
> Inhalt der von u,v aufgespannten Seitenfläche ist:
>
> [mm]A=|u\times{v}|=\left|\vektor{2 \\ -3\\ 1}\times\vektor{-1 \\ 0\\ 4}\right|=\left|\vektor{-12 \\-9\\ -3}\right|=3\wurzel{26}[/mm]
>
> (u,v,w) ist kein Rechtssystem, sondern ein Linkssystem,
> weil det(u,v,w)<0 ist
>
> Stimmt die Lösung?
Ja
FRED
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Für [mm] u,v,w\in\IR^3 [/mm] beschreibt die Gleichung V=|det(u,v,w)| den Volumen eines parallelepipeds
Für [mm] u,v\in\IR^2 [/mm] beschreibt die Gleichung A=|det(u,v)| den Flächeninhalt eines Parallelogramms
Das steht so in meinem Script, aber es wird nicht erklärt wieso. Ich will das nicht einfach so hinnehmen. Kann mir einer erklären wieso diese Gleichung den Volumen eines parallelepipeds und Flächeninhalt eines Parallelogramms beschreiben?
Außer es ist zu kompliziert, dann werde ich es einfach so hinnehmen.
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Wie kann man die folgende gleichung in Worte fassen?
[mm] \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}.
[/mm]
Ich hätte die gleichung so beschrieben: Man kann die Spalten einer Matrix transponieren ohne ihre Determinante zuändern.
Kann man das so sagen?
Ich habe noch eine Frage. Wenn man die Zeilen oder Spalten vertaucht, dann verändert sich das Vorzeichen der Determinante, richtig?
[mm] \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_ 2 \\ b_3 &a_3 & c_3\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}
[/mm]
ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 So 15.05.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wie kann man die folgende gleichung in Worte fassen?
>
> [mm]\det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Ich hätte die gleichung so beschrieben: Man kann die
> Spalten einer Matrix transponieren ohne ihre Determinante
> zuändern.
>
> Kann man das so sagen?
Die Spalten einer matrix kannst du nicht transponieren, nur die Matrix selber. Dieses Transponieren einer Matrix ändert dann die Derterminante aber nicht.
>
> Ich habe noch eine Frage. Wenn man die Zeilen oder Spalten
> vertaucht, dann verändert sich das Vorzeichen der
> Determinante, richtig?
>
> [mm]\det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_ 2 \\ b_3 &a_3 & c_3\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ist das so richtig?
Das stimmt.
Marius
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a)
Die Matrix A ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist
[mm] det(A)=det\pmat{ a & 2 & a\\ 3 & 2& b\\ 3 & 2 & 4 }=8a+6b-2ab-24
[/mm]
Ich muss jetzt quasi die Gleichung:
8a+6b-2ab-24=0
lösen. Für alle Lösungen [mm] a,b\in\IR [/mm] ist die Matrix A nicht invertierbar. Alle anderen [mm] a,b\in\IR [/mm] ist A invertierbar.
Aber wie Löse ich diese gleichung ? Ich habe zwei unbekannte und eine Gleichung. So ist das nicht lösbar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 So 15.05.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Versuche aus der Gleichung einen Zusammenhang zwischen a und b herzustellen, das reicht dann hier als Lösung.
Evtl würde ich hier auch mal über b=4 nachdenken, denn dann dann sind zwei Zeilen der Marrix ja gleich.
Marius
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Hallo,
> Versuche aus der Gleichung einen Zusammenhang zwischen a
> und b herzustellen, das reicht dann hier als Lösung.
[mm]8a+6b-2ab-24=0[/mm]
[mm]4a+3b-ab-12=0[/mm]
[mm]b(3-a)=12-4a[/mm]
[mm] b=\bruch{12-4a}{(3-a)}
[/mm]
Für alle [mm] a,b\in\IR [/mm] die die letzte Gleichung erfüllen, ist die Matrix nicht invertierbar, weil die Determinante gleich Null ist. Für alle anderen [mm] a,b\in\IR [/mm] ist die Matrix invertierbar.
Stimmt die Lösung?
> Evtl würde ich hier auch mal über b=4 nachdenken, denn dann dann sind zwei Zeilen der Marrix ja gleich.
Für b=4 wären die zwei Zeilen dann linear abhängig und dann wäre die matrix nicht invertierbar. Aber wie kann man sich sicher sein, dass b=4 die einzige Lösung ist? Für [mm] b\not=4 [/mm] wäre die zweite zeile nicht mehr linear abhängig mit der dritten Zeile, aber sie könnte ja noch linear abhängig mit der ertsen Zeile sein.
Das heißt mit dem Ansatz b=4 kann man eine Lösung finden, aber nicht alle. Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 So 15.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Versuche aus der Gleichung einen Zusammenhang zwischen a
> > und b herzustellen, das reicht dann hier als Lösung.
>
> [mm]8a+6b-2ab-24=0[/mm]
>
> [mm]4a+3b-ab-12=0[/mm]
>
> [mm]b(3-a)=12-4a[/mm]
>
> [mm]b=\bruch{12-4a}{(3-a)}[/mm]
Teilen durch 3-a ist nur erlaubt, wenn a [mm] \ne [/mm] 3 ist.
Weiter ist 12-4a=4(3-a).
Für a [mm] \ne [/mm] 3 ist also b=4.
Für a=3 kann b sein was es will.
FRED
>
> Für alle [mm]a,b\in\IR[/mm] die die letzte Gleichung erfüllen, ist
> die Matrix nicht invertierbar, weil die Determinante gleich
> Null ist. Für alle anderen [mm]a,b\in\IR[/mm] ist die Matrix
> invertierbar.
>
> Stimmt die Lösung?
>
> > Evtl würde ich hier auch mal über b=4 nachdenken, denn
> dann dann sind zwei Zeilen der Marrix ja gleich.
>
> Für b=4 wären die zwei Zeilen dann linear abhängig und
> dann wäre die matrix nicht invertierbar. Aber wie kann man
> sich sicher sein, dass b=4 die einzige Lösung ist? Für
> [mm]b\not=4[/mm] wäre die zweite zeile nicht mehr linear abhängig
> mit der dritten Zeile, aber sie könnte ja noch linear
> abhängig mit der ertsen Zeile sein.
>
> Das heißt mit dem Ansatz b=4 kann man eine Lösung finden,
> aber nicht alle. Ist das richtig?
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Hallo,
Ich will mir zu der Aufgabe noch eine Notiz machen, damit ich auch nach paar Wochen weiß was invertierbare Matrizen sind und wozu man sie braucht. Ist die folgende Notiz richtig? Habt ihr verbesserungsvorschläge:
Die Division gibt es bei Matrizen nicht. Quadtratische Matrizen, die invertierbar sind, haben jedoch eine vergleichbare Eigenschaft. Eine quadtratische Matrix [mm] A\in\IR^{n\times{n}} [/mm] heißt invertierbar, falls eine Matrix [mm] B\in\IR^{n\times{n}} [/mm] existiert, so dass gilt:
[mm]A*B=E=B*A[/mm]
Hierbei ist [mm]E[/mm] die Einheitsmatrix. In diesem Fall ist [mm]B[/mm] eindeutig und die Inverse wird mit [mm] A^{-1} [/mm] bezeichnet. Diese Eigenschaft wird benutzt, um Matrizen zu elemenieren. Als Beispiel wird das folgende Gleichungssystem betrachtet, das nach [mm]x[/mm] umgestellt werden soll:
[mm]A*x=b[/mm] mit [mm] A\in\IR^{n\times{n}} [/mm] und [mm] x,b\in\IR^n
[/mm]
Die Gleichung kann nicht mit A dividiert, aber mit ihrer Inverse multipliziert werden.
[mm] A*A^{-1}x=A^{-1}*b
[/mm]
[mm] E*x=A^{-1}*b
[/mm]
[mm] x=A^{-1}*b
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 15.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Ich will mir zu der Aufgabe noch eine Notiz machen, damit
> ich auch nach paar Wochen weiß was invertierbare Matrizen
> sind und wozu man sie braucht. Ist die folgende Notiz
> richtig? Habt ihr verbesserungsvorschläge:
>
> Die Division gibt es bei Matrizen nicht. Quadtratische
> Matrizen, die invertierbar sind, haben jedoch eine
> vergleichbare Eigenschaft. Eine quadtratische Matrix
> [mm]A\in\IR^{n\times{n}}[/mm] heißt invertierbar, falls eine Matrix
> [mm]B\in\IR^{n\times{n}}[/mm] existiert, so dass gilt:
>
> [mm]A*B=E=B*A[/mm]
>
> Hierbei ist [mm]E[/mm] die Einheitsmatrix. In diesem Fall ist [mm]B[/mm]
> eindeutig und die Inverse wird mit [mm]A^{-1}[/mm] bezeichnet. Diese
> Eigenschaft wird benutzt, um Matrizen zu elemenieren. Als
> Beispiel wird das folgende Gleichungssystem betrachtet, das
> nach [mm]x[/mm] umgestellt werden soll:
>
> [mm]A*x=b[/mm] mit [mm]A\in\IR^{n\times{n}}[/mm] und [mm]x,b\in\IR^n[/mm]
>
> Die Gleichung kann nicht mit A dividiert, aber mit ihrer
> Inverse multipliziert werden.
...... wenn die Inverse existiert. ...
>
> [mm]A*A^{-1}x=A^{-1}*b[/mm]
>
> [mm]E*x=A^{-1}*b[/mm]
>
> [mm]x=A^{-1}*b[/mm]
>
>
Ist o.k.
fred
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> >
> > [mm]8a+6b-2ab-24=0[/mm]
> >
> > [mm]4a+3b-ab-12=0[/mm]
> >
> > [mm]b(3-a)=12-4a[/mm]
> >
> > [mm]b=\bruch{12-4a}{(3-a)}[/mm]
>
> Teilen durch 3-a ist nur erlaubt, wenn a [mm]\ne[/mm] 3 ist.
>
> Weiter ist 12-4a=4(3-a).
>
> Für a [mm]\ne[/mm] 3 ist also b=4.
>
> Für a=3 kann b sein was es will.
>
Aber a darf nicht gleich 3 sein, sonst würde man durch null teilen.
Ich hätte jetzt einfach gesagt: Für a [mm]\ne[/mm] 3 und b=4 ist [mm] A_1 [/mm] nicht invertierbar.
b ändert seinen Wert nur dann, wenn a=3 ist. Aber da a=3 nicht definiert ist, ist die Matrix [mm] A_1 [/mm] für keinen [mm] a,b,\in\IR [/mm] invertierbar.
ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 So 15.05.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Sortiere die durchaus richtigen Ideen etwas.
Ohne Fallutnerscheidung kommst du aus, wenn du etwas anders umformst.
$ b(3-a)=12-4a $
[mm] $\Leftrightarrow b\cdot(3-a)=4(3-a)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow b\cdot(3-a)-4(3-a)=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow (b-4)\cdot(3-a)=0$
[/mm]
Jetzt überlege nochmal, wann dieses passiert.
Marius
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> [mm] (b-4)\cdot(3-a)=0[/mm]
>
> Jetzt überlege nochmal, wann dieses passiert.
>
Wenn a=3 oder b=4 ist, dann ist [mm] A_1 [/mm] nicht invertierbar. Wenn [mm] a\not=3 [/mm] und [mm] b\not=4 [/mm] ist, dann ist [mm] A_1 [/mm] invertierbar.
ist die Lösung jetzt richtig?
ich kann den folgenden Übergang nicht nachvollziehen:
$ [mm] b\cdot(3-a)-4(3-a)=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow (b-4)\cdot(3-a)=0 [/mm] $
Wie kommt man von der ersten gleichung auf die zweite?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Mo 16.05.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > [mm](b-4)\cdot(3-a)=0[/mm]
> >
> > Jetzt überlege nochmal, wann dieses passiert.
> >
>
> Wenn a=3 oder b=4 ist, dann ist [mm]A_1[/mm] nicht invertierbar.
So ist es
> Wenn [mm]a\not=3[/mm] und [mm]b\not=4[/mm] ist, dann ist [mm]A_1[/mm] invertierbar.
>
> ist die Lösung jetzt richtig?
Ja
>
>
> ich kann den folgenden Übergang nicht nachvollziehen:
>
> [mm]b\cdot(3-a)-4(3-a)=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow (b-4)\cdot(3-a)=0[/mm]
>
> Wie kommt man von der ersten gleichung auf die zweite?
Durch Ausklammern der Klammer.
Marius
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Dieter Heidorn