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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }\in M(2x2,\IR).
[/mm]
Zeige, dass det(A) der Flächeninhalt des Parallelogramms in [mm] \IR^2 [/mm] mit Ecken 0, (a,b), (c,d) und (a+c,b+d) ist. |
Hallo zusammen!
Ich hab irgendwie Probleme, diese Aufgabe zu zeigen, obwohl es eigentlich recht simpel klingt.
Erstmal hab ich die Determinante von A berechnet:
[mm] det(A)=det\pmat{ a & b \\ c & d }=ad-cb
[/mm]
Die Flächenformel für ein Parallelogramm lautet ja [mm] p*h_{p}
[/mm]
Ich hab das Parallelogramm mal gezeichnet. Es ist ja im ersten Quadranten. Der Punkt unten links ist der Punkt (0,0), der Punkt unten rechts ist der Punkt (c,d). Der Punkt oben links ist der Punkt (a,b) und oben rechts ist der Punkt (a+c,b+d).
Die Strecke vom Nullpunkt zum Punkt (c,d) ist dann meine Strecke p.
p ist also der Vektor [mm] \vektor{c \\ d}
[/mm]
Die Höhe auf p geht vom Punkt (a,b) zum Punkt (a,0).
Damit ist die Höhe ja der Vektor [mm] \vektor{0 \\ b} [/mm] bzw. [mm] \vektor{0 \\ -b}, [/mm] je nach dem in welche Richtung man den Pfeil malt.
So, wenn ich das jetzt in die Flächenformel einsetze erhalte ich:
[mm] A=p*h_{p}=\vektor{c \\ d}*\vektor{0 \\ b}=c*0+d*b=bd [/mm] (bzw -bd wenn man den anderen Vektor nimmt)
Aber das stimmt ja nun mal so gar nicht mit meiner Determinate überein. Ich hab ja auch gar kein a mehr in meiner Formel...
Kann mir jemand sagen, wo der Fehelr liegt?
Vielen Dank.
LG, Nadine
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Hallo Nadine!
> Sei [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }\in M(2x2,\IR).[/mm]
> Zeige, dass
> det(A) der Flächeninhalt des Parallelogramms in [mm]\IR^2[/mm] mit
> Ecken 0, (a,b), (c,d) und (a+c,b+d) ist.
> Hallo zusammen!
>
> Ich hab irgendwie Probleme, diese Aufgabe zu zeigen, obwohl
> es eigentlich recht simpel klingt.
>
> Erstmal hab ich die Determinante von A berechnet:
>
> [mm]det(A)=det\pmat{ a & b \\ c & d }=ad-cb[/mm]
>
> Die Flächenformel für ein Parallelogramm lautet ja [mm]p*h_{p}[/mm]
>
> Ich hab das Parallelogramm mal gezeichnet. Es ist ja im
> ersten Quadranten. Der Punkt unten links ist der Punkt
> (0,0), der Punkt unten rechts ist der Punkt (c,d). Der
> Punkt oben links ist der Punkt (a,b) und oben rechts ist
> der Punkt (a+c,b+d).
Ich weiß nicht so ganz, ob du das richtig gezeichnet hast - es liegt keine Seite des Parallelogramms auf den Koordinatenachsen, sonst stände da statt den Buchstaben teilweise einfach eine 0. Hast du vielleicht eine Seite auf eine Achse gelegt?
> Die Strecke vom Nullpunkt zum Punkt (c,d) ist dann meine
> Strecke p.
>
> p ist also der Vektor [mm]\vektor{c \\ d}[/mm]
>
> Die Höhe auf p geht vom Punkt (a,b) zum Punkt (a,0).
>
> Damit ist die Höhe ja der Vektor [mm]\vektor{0 \\ b}[/mm] bzw.
> [mm]\vektor{0 \\ -b},[/mm] je nach dem in welche Richtung man den
> Pfeil malt.
>
> So, wenn ich das jetzt in die Flächenformel einsetze
> erhalte ich:
>
> [mm]A=p*h_{p}=\vektor{c \\ d}*\vektor{0 \\ b}=c*0+d*b=bd[/mm] (bzw
> -bd wenn man den anderen Vektor nimmt)
>
> Aber das stimmt ja nun mal so gar nicht mit meiner
> Determinate überein. Ich hab ja auch gar kein a mehr in
> meiner Formel...
>
> Kann mir jemand sagen, wo der Fehelr liegt?
>
> Vielen Dank.
>
> LG, Nadine
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane!
Vielen Dank für deine Antwort.
> Ich weiß nicht so ganz, ob du das richtig gezeichnet hast -
> es liegt keine Seite des Parallelogramms auf den
> Koordinatenachsen, sonst stände da statt den Buchstaben
> teilweise einfach eine 0. Hast du vielleicht eine Seite auf
> eine Achse gelegt?
Ja, du hast recht. Ich hab es so gezeichnet, dass die untere Seite des Parallelogramms auf der x-Achse liegt. Ich hab es jetzt mal "in die Luft" gezeichnet.
Aber ich weiß jetzt nicht, wie ich die Höhr berechnen kann. Ich hab jetzt mal den Punkt (x,y) eingefügt, der senkrecht unter dem Punkt (a,b) auf dem Vektor (c,d) liegt.
Damit könnt ich die Höhr dann ausdrücken als [mm] \vektor{a \\ b}-\vektor{x \\ y}, [/mm] aber dann bekomm ich ja zwei neue Variablen rein...
Und die Höhe mit dem Sinus auszudrücken hilft mir glaub ich auch nicht weiter.
Hast du vielleicht eine Idee, wie ich jetzt weiter machen könnte?
LG, Nadine
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Hallo nochmal!
Eine gute Antwort habe ich leider nicht, aber notfalls müsste es doch mit der Schul-Vektorrechnung gehen, wenn du für die eine Seite eine Geradengleichung aufstellst und dann dazu eine senkrechte Gerade erstellst. Und dann den Abstand berechnen. So würde ich das machen, aber es gibt da auch noch die Normalenformen - ich glaube, da gibt's auch irgendwas, womit man etwas einfacher den Abstand berechnen kann. Aber ich glaube, eine Geradengleichung stellt man da trotzdem auf.
Allerdings kann es sein, dass es doch noch irgendwie einfacher geht - wenn du's mit der Aufgabe nicht allzu eilig hast, würde ich vielleicht darauf hoffen, dass hier jemand noch einen besseren Vorschlag hat. 
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Pacapear |
Hallo.
Also ich hab das grad mal versucht mit dem Abstand. Hab die Abstandsformel für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden genommen.
Allerdings enthalten diese Formeln alle Kreuzprodukt und sind daher nur für [mm] \IR^3 [/mm] geeignet.
Wie stellt man denn eine senkrechte Gerade auf?
LG, Nadine
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Hallo Pacapear!
> Also ich hab das grad mal versucht mit dem Abstand. Hab die
> Abstandsformel für den Abstand eines Punktes zu einer
> Geraden genommen.
>
> Allerdings enthalten diese Formeln alle Kreuzprodukt und
> sind daher nur für [mm]\IR^2[/mm] geeignet.
Aber wir sind doch im [mm] \IR^2? [/mm] Ein Parallelogramm ist doch nur zweidimensional!?
> Wie stellt man denn eine senkrechte Gerade auf?
Entweder, wenn du die Form y=mx+b hast, dann hat die senkrechte Gerade die Steigung [mm] -\br{1}{m}, [/mm] oder, wenn du die Form mit Stützvektor und Richtungsvektor hast, dann muss ja das Skalarprodukt von dem Richtungsvektor mit dem Richtungsvektor der senkrechen Geraden =0 sein. Aber wie genau das ging, dürftest du eigentlich in einem alten Mathebuch finden, oder hier im Schulforum.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Bastiane!
> Aber wir sind doch im [mm]\IR^2?[/mm] Ein Parallelogramm ist doch
> nur zweidimensional!?
Sorry, ich habe mich vertippt.
Das Vektorprodukt ist nur im [mm] \IR^3 [/mm] definiert.
Deshalb lässt es sich hier nicht anwenden.
Werde den Fehler gleich beheben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Pacapear |
Hallo.
Also ich hab jetzt mal die Gerade der Höhe aufgestellt:
[mm] h=\vektor{a \\ b}+s*\vektor{d \\ -c}
[/mm]
Die Gerade auf dem die Höhe steht ist ja [mm] p=\vektor{0 \\ 0}+t*\vektor{c \\ d}=t*\vektor{c \\ d}
[/mm]
So, die hab ich nun gleich gesetzt, um den Puinkt auf der Geraden rauszubekommen, auf dem die Höhe steht. Da kommt raus:
[mm] \vektor{\bruch{bcd+ac^2}{c^2+d^2} \\ \bruch{bd^2+acd}{c^2+d^2}}
[/mm]
Sieht ja schon was seltsam aus, aber ich hab zweimal nachgerechnet.
So, nun hab ich ja zwei Punkte und kann Vektor dazwischen (Höhe) bestimmen. Da kommt dann raus:
[mm] \vektor{\bruch{2ac^2+ad^2+bcd}{c^2+d^2} \\ \bruch{bc^2+2bd^2+acd}{c^2+d^2}}
[/mm]
So, wenn ich das nun mit dem Vektor p malnehme, kommt aber niemals die Determinante von A raus...
Hilfe, ich verzweifel.....
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Guten Morgen, Pacapear!
> Also ich hab das grad mal versucht mit dem Abstand. Hab die
> Abstandsformel für den Abstand eines Punktes zu einer
> Geraden genommen.
>
> Allerdings enthalten diese Formeln alle Kreuzprodukt und
> sind daher nur für [mm]\IR^3[/mm] geeignet.
Ich hab's nochmal etwas anders versucht - fiel mir gestern abend im Bett ein...
Hab' allerdings jetzt keine Zeit, es komplett durchzurechhen. Und zwar kannst du die eine Gerade aufstellen als:
[mm] y_1=\br{b}{a}x
[/mm]
Dann hat die andere Gerade die Steigung [mm] -\br{a}{b}
[/mm]
Wenn du noch den Punkt (c/d) einsetzt, erhältst du (hoffentlich) [mm] y_2=-\br{a}{b}+d+\br{ac}{b}.
[/mm]
Wenn du jetzt beide Geraden gleichsetzt, erhältst du den Schnittpunkt beider Geraden, und das ist der Punkt, wo die Höhe auf [mm] \vec{0ab} [/mm] liegen muss, damit er durch (c/d) geht.
Und dann müsstest du nur noch diese Strecke ausrechnen.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 24.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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