Determinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo alle zusammen,
ich würde gerne wissen, ob wenn [mm] A\in \IR^{m\times n}, [/mm] gilt dann [mm] det(A^{-1})=(det(A))^{-1}?
[/mm]
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo alle zusammen,
> ich würde gerne wissen, ob wenn [mm]A\in \IR^{m\times n},[/mm] gilt
> dann [mm]det(A^{-1})=(det(A))^{-1}?[/mm]
ich hoffe, dass bei Dir $m=n$ ist, also $A [mm] \in \IR^{n \times n}$. [/mm] Zudem macht die Frage nur Sinn, wenn $A$ nichtsingulär, m.a.W. regulär, m.a.W. invertierbar ist, ansonsten kannst Du ja zum einen [mm] $A^{-1}$ [/mm] gar nicht hinschreiben, zum anderen wäre [mm] $\det(A)=0$.
[/mm]
(Die Determinante einer Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] verschwindet genau dann, wenn A nicht invertierbar ist. D.h.:
[mm] $A^{-1}$ [/mm] existiert genau dann, wenn [mm] $\det(A) \not=0$.) [/mm]
Für quadratische Matrizen $A,B [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] gilt der Multiplikationssatz [mm] ($\rightarrow$ [/mm] Produktregel: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29)
[mm] $\det(A*B)=\det(A)*\det(B)$
[/mm]
Ist oben $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] invertierbar, so kannst Du nun sicherlich Deine Frage selbst beantworten unter Beachtung, dass [mm] $A*A^{-1}=E_n$ ($\leftarrow$ die Einheitsmatrix im $\IR^{n \times n}$) und $\det(E_n)=1$, indem Du einfach $B:=A^{-1}$ einsetzt.
(Wobei die Antwort Deiner Frage sogar explizit auch in dem Wiki-Link steht, oben steht dann quasi, wie man es für invertierbares $A$ beweist.)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Docy |
Vielen Dank,
das hat mir sehr geholfen.
Gruß Docy
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