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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 So 16.01.2005 | | Autor: | Fuechsin |
hallo Hallo!
Und zwar, ich hab schon wieder eine frage, die mir gar nicht so einfach zu sein scheint...
wir wollen im unterricht jetzt nämlich so zu sagen beweisen, dass jeder Bruch eine endliche oder eine periodische (oder vielleicht sogar eine unendliche?) Dezimalzahl ist.
in die andere Richtung, dass jede endliche oder auch jede periodische D.z ein Bruch ist, haben wir das schon durchgeführt:
1) Jede endliche Dezimalzahel ist ein Bruch:
z= [mm] a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{10^{n}}
[/mm]
2) Jede (unendliche) periodische D.z ist ein Bruch
[mm] 0,\overline{3}= [/mm] 1x
[mm] 3,\overline{3}=10x
[/mm]
jetzt 10x-1x rechnen, das ergibt:
10x-1x=9x
[mm] 3,\overline{3}-0,\overline{3}= [/mm] 3
also 9x=3
[mm] x=\bruch{3}{9}
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{3}
[/mm]
ok, soweit geht das ganz gut. nun wollen wir, dass die behauptung:
" z ist genau dann ein Bruch , wenn z eine endliche oder (unendliche)periodische dezimalzahl ist ." stimmt. dazu muss gelten
p [mm] \gdw [/mm] q
dass q [mm] \Rightarrow [/mm] p ist, haben wir schon gezeigt mit den ersten beiden schritten, es fehlt noch zu beweisen, dass
p [mm] \Rightarrow [/mm] q
ist
dazu folgende überlegung:
[mm] \bruch{p}{q} [/mm] = p/q=.,......
gut, wenn ich das mit einigen brüche durchführe dann stelle ich eben fest, dass perioden entstehen oder eine endliche Dezimalzahl. reicht das um zu zeigen, dass perioden enstehen, ich denke nich...? aber wie kann ich das " begründen" bzw. warum entstehen perioden und kann ich verallgemeinern, dass immer eine periode bzw eine endliche D.z entstehen muss?
wie kann ich allgemein zeigen, dass
p [mm] \rightarrow [/mm] q ( also dass ein bruch eine endliche oder eine periodische Dezimalzahl ist )immer stimmt? mir fehlt dazu irgendwie ne idee, wäre super, wenn mir irgednjemand nen tipp geben könnte, wie ich an die sache rangehen könnte.
wobei mir grad einfällt, für endliche dezimalzahlen kann man den ansatz aus 1) vielelicht einfach nur "umdrehen" und das damit zeigen?
hm, nagut, hoffe die frage is soweit verständlich genung beschrieben, danke schonmal im voraus!!!
viele liebe grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 16.01.2005 | | Autor: | NimroT |
Als ich die Frage gelesen hab war mein erster Gedanke, dass ganze irgendwie über die Mengen zu begründen. [mm] \IQ [/mm] ist ja eine Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
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Hallo Fuechsin,
> wir wollen im unterricht jetzt nämlich so zu sagen
> beweisen, dass jeder Bruch eine endliche oder eine
> periodische (oder vielleicht sogar eine unendliche?)
> Dezimalzahl ist.
> in die andere Richtung, dass jede endliche oder auch jede
> periodische D.z ein Bruch ist, haben wir das schon
> durchgeführt:
> 1) Jede endliche Dezimalzahel ist ein Bruch:
> z= [mm]a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}
[/mm]
> = [mm]\bruch{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{10^{n}}
[/mm]
>
> 2) Jede (unendliche) periodische D.z ist ein Bruch
> [mm]0,\overline{3}=[/mm] 1x
> [mm]3,\overline{3}=10x
[/mm]
>
> jetzt 10x-1x rechnen, das ergibt:
> 10x-1x=9x
> [mm]3,\overline{3}-0,\overline{3}=[/mm] 3
>
> also 9x=3
> [mm]x=\bruch{3}{9}
[/mm]
> [mm]x=\bruch{1}{3}
[/mm]
Damit hast du nun gezeigt: " Wenn z eine endliche oder unendliche periodische Zahl ist, dann ist sie als Bruch darstellbar".
> ok, soweit geht das ganz gut. nun wollen wir, dass die
> behauptung:
> " z ist genau dann ein Bruch , wenn z eine endliche oder
> (unendliche)periodische dezimalzahl ist ." stimmt. dazu
> muss gelten
> p [mm]\gdw[/mm] q
>
> dass q [mm]\Rightarrow[/mm] p ist, haben wir schon gezeigt mit den
> ersten beiden schritten, es fehlt noch zu beweisen, dass
> p [mm]\Rightarrow[/mm] q
> ist
.. und jetzt willst du zeigen: "Wenn die Zahl z ein Bruch ist, dass ist sie entweder als endliche oder als periodische Dezimalzahl darstellbar."
> dazu folgende überlegung:
> [mm]\bruch{p}{q}[/mm] = p/q=.,...... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
>
> gut, wenn ich das mit einigen brüche durchführe dann stelle
> ich eben fest, dass perioden entstehen oder eine endliche
> Dezimalzahl. reicht das um zu zeigen, dass perioden
> enstehen, ich denke nich...? aber wie kann ich das "
> begründen" bzw. warum entstehen perioden und kann ich
> verallgemeinern, dass immer eine periode bzw eine endliche
> D.z entstehen muss?
> wie kann ich allgemein zeigen, dass
> p [mm]\rightarrow[/mm] q ( also dass ein bruch eine endliche oder
> eine periodische Dezimalzahl ist )immer stimmt? mir fehlt
> dazu irgendwie ne idee, wäre super, wenn mir irgednjemand
> nen tipp geben könnte, wie ich an die sache rangehen
> könnte.
> wobei mir grad einfällt, für endliche dezimalzahlen kann
> man den ansatz aus 1) vielelicht einfach nur "umdrehen" und
> das damit zeigen?
nicht so ganz...
Sei z = [mm] \bruch{p}{q} [/mm] und p,q teilerfremd (also ein gekürzter Bruch)
1. Fall:
q = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] z = p ist als ganze Zahl auch eine Dezimalzahl.
2. Fall:
q enthält als Teiler nur 2 und/oder 5, ist also auf eine Zehnerpotenz erweiterbar
[mm] \Rightarrow [/mm] die Divison p:q endet nach einigen Schritten mit einer endlichen Dezimalzahl.
z.B. [mm] $\bruch{7}{40} [/mm] = [mm] \bruch{7*25}{40*25} [/mm] = 0,175$
3. Fall:
q ist nicht auf eine Zehnerpotenz erweiterbar [mm] \Rightarrow [/mm] die Division p:q läuft in eine Periode,
die maximale Periodenlänge ist q; z.B. [mm] $\bruch{5}{3}$ [/mm] hat die Periodenlänge 1, 3/7= [mm] 0,\overline{428571} [/mm] Periodenlänge 6.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 16.01.2005 | | Autor: | Fuechsin |
> Sei z = [mm]\bruch{p}{q}[/mm] und p,q teilerfremd (also ein
> gekürzter Bruch)
> 1. Fall:
> q = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] z = p ist als ganze Zahl auch eine
> Dezimalzahl.
>
> 2. Fall:
> q enthält als Teiler nur 2 und/oder 5, ist also auf eine
> Zehnerpotenz erweiterbar
> [mm]\Rightarrow[/mm] die Divison p:q endet nach einigen Schritten
> mit einer endlichen Dezimalzahl.
> z.B. [mm]\bruch{7}{40} = \bruch{7*25}{40*25} = 0,175[/mm]
also diese beiden schritte sind gut, wobei ich mich frage, ob man das auch allgemein irgednwie sagen kann, muss ich mal probieren hab zu dem 2. teil auch in meinem schülerduden mathe eine "allgemeine formel" dafür gefunden, die musste man zwar erstma verstehen und wie man darauf hätte kommen können ist mir schleierhaft, aber sie erklärt mir das auch ein bisschen
>
> 3. Fall:
> q ist nicht auf eine Zehnerpotenz erweiterbar [mm]\Rightarrow[/mm]
> die Division p:q läuft in eine Periode,
> die maximale Periodenlänge ist q
also wenn im nenner 5 steht, ist die periodenlänge nie größer als 5? z.B. [mm]\bruch{5}{3}[/mm] ,3/7= [mm]0,\overline{428571}[/mm] Periodenlänge 6.
und woher weiß ich, dass das stimmt? ja das problem ist ja immer, ich kann ein paar beispiele nenne, aber wie kann ich dann sicher sein, dass es auch für alle gilt...? das muss man ja irgednwie auch vielleicht über nen direkten beweis oder so hinkriegen, wie bei dem 1. schritt bei von ner dezimalzahl zu nem bruch ( mit x=... und 10x=...)?? ich muss auch noch ein bisschen weiterprobieren, aber ich hab schon so lang überlegt...(?)gar net so einfach, wnen mans immer ganz allgemein ahben will...
und wie ist es für unendliche nichtperiodische zaheln? nächstes großes problem...
freue mich über jede bemerkung, von mathegenies, die zeit haben zum antworten:) Danke!!
viele grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 So 16.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich find gut, dass du nicht mit ein paar Beispielen zufrieden bist.
Man übersieht leicht, dass die Periode anfängt, wenn man beim Dividieren wieder den gleichen Rest kriegt wie schon mal. Wenn man aber durch q teilt, gibt es höchstens q-1 verschiedene Reste, das ist der entscheidende Punkt. Na ja und spätestens nach q-1 mal dividieren muss also wieder ein gleicher kommen, die Periodenlänge ist also höchstens
q-1 lang.
viel Spass weiter
leduart
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