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| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:
a) y' = [mm] (x-y+3)^2
[/mm]
b) y = [mm] xy'-\wurzel{x^2 + y^2} [/mm] |
Hallo,
ich muss leider zugeben, dass ich nicht mehr weiß, wie diese Formen von Dgl. zu lösen sind.
Wäre sehr nett, wenn mir Jemand einfach nur den Ansatz geben würde, wie man diese Formen angehen und lösen muss.
Bin sehr dankbar für jeden Tipp !!! :)
Mit freundlichen Grüßen
Leipziger
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Hallo!
> Bestimmen sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung:
>
> a) y' = [mm](x-y+3)^2[/mm]
> b) y = [mm]xy'-\wurzel{x^2 + y^2}[/mm]
------
Bei a) musst du
$u(x) := x-y(x)+3$
setzen. Dann ist
$y(x) = x + 3 - u(x)$
und die DGL sagt aus:
$y'(x) = [mm] u(x)^2$
[/mm]
Also:
$u'(x) = 1-y'(x) = 1- [mm] u(x)^{2}$.
[/mm]
Das kannst du nun mit der Methode der ![[]](/images/popup.gif) Getrennten Veränderlichen lösen.
------
Bei der b) kann man mit folgender Umformung für [mm] $x\not= [/mm] 0$
$y = [mm] xy'-\wurzel{x^2 + y^2} \gdw [/mm] y + [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] = x*y' [mm] \gdw \frac{y}{x} [/mm] + [mm] \wurzel{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} [/mm] = y'$
das Verfahren der Ähnlichkeitsdgl. anwenden. D.h. substituiere
$y(x) = u(x)*x$, dann erhältst du oben
$y'(x) = [mm] \frac{u*x}{x} [/mm] + [mm] \wurzel{1 + \left(\frac{u*x}{x}\right)^2} [/mm] = u + [mm] \sqrt{1 + u^{2}}$.
[/mm]
Und da y'(x) = [mm] \Big[u(x)*x\Big]' [/mm] = u'(x)*x + u(x) [mm] \gdw [/mm] u'(x) = [mm] \frac{1}{x}*\left(y'(x) - u(x)\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{x}*\left(u + \sqrt{1 + u^{2}} - u\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{x}*\sqrt{1 + u^{2}}$,
[/mm]
hast du nun wieder den Fall der Getrennten Veränderlichen.
Vergiss nicht, dann nach erfolgter Lösung u(x) wieder zu y(x) zurücksubstituieren (auch bei a) )!
Grüße,
Stefan
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Danke für deine Schnelle Antwort, (a) hätte ich auch eigentlich selber sehen müssen ^^ naja, ich habe mich an (a) versucht und bin am Ende auf:
y= x [mm] -\wurzel{C*e^{2x}+1} [/mm] +3 gekommen.
Ich verrechne mich gern und wollte wissen, ob das so stimmen kann.
Mfg
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Hallo!
> Danke für deine Schnelle Antwort, (a) hätte ich auch
> eigentlich selber sehen müssen ^^ naja, ich habe mich an
> (a) versucht und bin am Ende auf:
>
> y= x [mm]-\wurzel{C*e^{2x}+1}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
+3 gekommen.
>
> Ich verrechne mich gern und wollte wissen, ob das so
> stimmen kann.
Zuerst mein Zwischenergebnis für $u(x)$:
$u(x) = \frac{C*e^{2x}-1}{C*e^{2x}+1}$
D.h.
$y(x) = x+3 - \frac{C*e^{2x}-1}{C*e^{2x}+1}$
Du hast dich also irgendwo vertan... So wie es aussieht beim Umformen nach dem Integrieren. Du hast ja nach dem Integrieren
$artanh(u) = x+C$,
d.h.
$\frac{1}{2}*\ln(\frac{1+u}{1-u}\right) = x+D$
$\frac{1+u}{1-u} = C*e^{2x}$
Das kannst du nun ohne quadratische Gleichung etc. auf die obige, von mir angegebene Form von u(x) bringen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 01.11.2009 | | Autor: | Leipziger |
Ich sollte lernen mein Tun zu überprüfen...
Ich habe mich vertan ja, und zwar vergessen wenn ich 1/1-x integriere, dann bekomme ich natürlich nicht ln(1-x) sondern -ln(1-x) :D
ja und das ändert dann einiges, danke für die wiedermals schnelle information ;)
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