Dgl. trennung Variablen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo. Ich kenne das Prinziep der Trennung der Variablen überhaupt nicht. Ich wollte mich im Netz schlau machen aber ich verstehe es immer noch nicht.
Die Gleichung ist [mm] y´(1+x^2)=xy
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand sagen wie ich dabei vorgehen muss?
Danke und liebe Grüsse Jessy
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Hallo jessy1985,
mache bitte die Ableitungsstriche mit "Shift"+Rautetaste, sonst werden sie nicht angezeigt!
> Hallo. Ich kenne das Prinziep der Trennung der Variablen
> überhaupt nicht. Ich wollte mich im Netz schlau machen
> aber ich verstehe es immer noch nicht.
> Die Gleichung ist [mm]y´(1+x^2)=xy[/mm]
> Kann mir vielleicht jemand sagen wie ich dabei vorgehen
> muss?
Nun, die Dgl lautet [mm]y'(1+x^2)=xy[/mm]
Strategie: alles mit y auf die linke Seite, alles mit x auf die rechte
Es ist [mm](1+x^2)>0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm], also darfst du dadurch teilen.
[mm]\Rightarrow y'=\frac{x}{1+x^2}\cdot{}y[/mm]
Nun darfst du für [mm]y\not\equiv 0[/mm] auch durch [mm]y[/mm] teilen, also
[mm]\Rightarrow \frac{1}{y} \ y' \ = \ \frac{x}{1+x^2}[/mm] für [mm]y\not\equiv 0[/mm]
Nun schreibe [mm]y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}[/mm] und bringe das [mm]dx[/mm] rüber:
[mm]\Rightarrow \frac{1}{y} \ dy \ = \ \frac{x}{1+x^2} \ dx[/mm]
Nun beiderseits integrieren und schlussendlich nach [mm]y=y(x)[/mm] auflösen:
[mm]\Rightarrow \int{\frac{1}{y} \ dy} \ = \ \int{\frac{x}{1+x^2} \ dx}[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
Da wir für die Umformungen den Fall [mm]y\equiv 0[/mm] herausgenommen haben, solltest du noch überprüfen, ob dies nicht vllt. auch die (Ausgangs-)Dgl löst.
> Danke und liebe Grüsse Jessy
Gruß
schachuzipus
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