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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mo 19.02.2007 | | Autor: | MTBE |
| Aufgabe | Aufgabe:
Man bestimme die Lösung von
[mm] y^{,,} [/mm] - [mm] 4y^{,} [/mm] + 4y = 4 mit y(0) = 1 und [mm] y^{,}(0) [/mm] = -2 |
Wenn jemand Zeit fände einmal über meine "Lösung" drüberzuschauen, wäre das sehr hilfreich.
Ich bestimme gegen Ende [mm] C_{2} [/mm] = 0 und bin mir nicht sicher, ob das überhaupt geht...
1. Schritt
Integration der zugehörigen homogenen Diffgl.
[mm] y^{,,} [/mm] - [mm] 4y^{,} [/mm] + 4y = 0
-Exponentialansatz-
y = [mm] e^{\lambda x} [/mm] ; [mm] y^{,} [/mm] = [mm] \lambda e^{\lambda x} [/mm] ; [mm] y^{,,} [/mm] = [mm] \lambda^{2} e^{\lambda x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda^{2} [/mm] - [mm] 4\lambda [/mm] + 4 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] p/q-Formel: c = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] = 2
Fundamentalbasis: [mm] y_{1} [/mm] = [mm] e^{cx} [/mm] ; [mm] y_{2} [/mm] = [mm] xe^{cx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Allgemeine Lösung: y = [mm] (C_{1}*x [/mm] + [mm] C_{2})*e^{2x}
[/mm]
2. Schritt
Störglied: g(x) = 4
Ansatz: g(x) = 4 , [mm] y_{p} [/mm] = const = A
[mm] y^{,}p [/mm] = 0 ; [mm] y^{,,}p [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Einsetzen in die inhomogene Dgl.:
[mm] y^{,,} [/mm] - [mm] 4y^{,,} [/mm] + 4y = 4
0 - 4*0 + 4*A = 4
[mm] \Rightarrow [/mm] A = 1
[mm] y_{p} [/mm] = 1 , gesuchte partikuläre Lösung der Dgl.
3. Schritt
y = [mm] y_{0} [/mm] + [mm] y_{p} [/mm] = [mm] (C_{1}*x [/mm] + [mm] C_{2})* e^{2x} [/mm] + 1
4. Schritt
aus den Randbedingungen die Konstanten [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] bestimmen.
y = [mm] (C_{1}*x [/mm] + [mm] C_{2})*e^{2x}+1
[/mm]
hab erst die Klammer ausmultipliziert und dann Kettenregel angewandt, richtig??
[mm] y^{,} [/mm] = [mm] C_{1}*e^{2x}+2xe^{2x}+C_{2}2e^{2x}
[/mm]
So, wenn ich jetzt y(0) = 1 und [mm] y^{,}(0) [/mm] = -2 setze
wird [mm] C_{1} [/mm] = -3
und [mm] C_{2} [/mm] = 0
und die Dgl lautet: y = [mm] -3x*e^{2x}+1
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 19.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fast alles richtig.
Nur ganz am Ende ein kleiner Fehler:
> 4. Schritt
>
> aus den Randbedingungen die Konstanten [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm]
> bestimmen.
>
> y = [mm](C_{1}*x[/mm] + [mm]C_{2})*e^{2x}+1[/mm]
>
> hab erst die Klammer ausmultipliziert und dann Kettenregel
> angewandt, richtig??
>
> [mm]y^{,}[/mm] = [mm]C_{1}*e^{2x}+2xe^{2x}+C_{2}2e^{2x}[/mm]
hier fehlt [mm] C_1 [/mm] im zweiten Term!
also richtig
[mm]y^{,} = C_{1}*e^{2x}+2C_1*xe^{2x}+C_{2}2e^{2x}[/mm]
> So, wenn ich jetzt y(0) = 1 und [mm]y^{,}(0)[/mm] = -2 setze
>
> wird [mm]C_{1}[/mm] = -3
wahrscheinlich wegen obigem Fehler ist [mm] C_1 [/mm] falsch, es [mm] istC_1= [/mm] -2.
> und [mm]C_{2}[/mm] = 0
richtig
> und die Dgl lautet: y = [mm]-3x*e^{2x}+1[/mm]
hier haettest du zur Probe ruhig nochmal deine Anfangswerte einsetzen sollen.
hab ich als erstes gemacht, den Fehler entdeckt, und dann erst nach der Quelle gesucht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mo 19.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Herzlichen Dank für deine Korrektur, da bin ich aber froh, dass es einigermaßen gepasst hat.
Am Ende die Werte nochmal in die Dgl einsetzen ist natürlich der naheliegendste Schritt, bin einfach nur nicht drauf gekommen.
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