Diagonalen-Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mi 05.01.2011 | | Autor: | bastide |
Hi. es ist lang her bei mir und ich hab einiges in Mathe vergessen. mich interessiert eine im Prinzip einfache Sache:
gegeben: ein 3 X 3 Quadrat von 9 Feldern (F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9)
mit folgender Anordnung:
F1 F2 F3
F4 F5 F6
F7 F8 F9
und 3 x 3 gleiche Ziffern (Bsp.: 1,1,1 2,2,2 3,3,3)
die Ziehreihenfolge erfolgt nach REIHE (immer von links nach rechts), d.h. F1-F2-F3-F4-F5-F6-F7-F8-F9
FRAGE: wenn die Ziffer 1 in der Diagonalen F1-F5-F9 erscheinen soll, wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit ?
ANSATZ:
für das Feld F1: am Anfang hat man 3 x die Ziffer 1 aus 9: also 3/9
für das Feld F2: dort soll die Ziffer 1 ja nicht stehen
für das Feld F3: dort soll die Ziffer 1 ja nicht stehen
für das Feld F4: dort soll die Ziffer 1 ja nicht stehen
für das Feld F5: jetzt hat man noch 2 x die Ziffer 1 aus 5: also 2/5
für das Feld F6: dort soll die Ziffer 1 ja nicht stehen
für das Feld F7: dort soll die Ziffer 1 ja nicht stehen
für das Feld F8: dort soll die Ziffer 1 ja nicht stehen
für das Feld F9: jetzt hat man noch 1 x die Ziffer 1 aus 1: also 1/1
RESULT: 3/9 x 2/5 x 1/1 = 2/15 (mein Gefühl sagt mir es ist nicht richtig)
Anmerkung: wenn die Ziffer 1 nur in der ersten Reihe erscheinen soll, also:
1 1 1
2 3 2
3 3 2
dann ist dafür die Wahrscheinlichkeit mir klar: 3/9 x 2/8 x 1/7 = 1/84.
im obigen Fall ist es jedoch die Diagonale.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.onlinemathe.de (seit ca. 7 Stunden jedoch noch ohne eine Antwort)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Do 06.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Also ganz systematisch kannst du so rangehen: Zuerst kann man die Matrix einfach mal als Zeilenvektor schreiben, also einfach die 9 Felder hintereinander (finde ich von der Vorstellung her einfacher). Dann willst du sozusagen die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass im 1., im 5. und im 9. Feld eine 1 steht.
Da nun jede Belegung der Felder gleichwahrscheinlich ist, liegt ein Laplace-Experiment vor. Damit erhältst du deine Wahrscheinlichkeit, indem du die Anzahl der günstigen Belegungen durch die Anzahl aller Belegungen teilst (wie man es auch naiv machen würde. z.B. eine 6 zu würfeln bei einem 6-seitigen, fairen Würfel beträgt auch [mm] p=\frac{1}{6}, [/mm] da es 6 mögliche Zahlen gibt und genau eine davon "günstig" ist).
Ich weiß nicht, wie groß jetzt dein Kombinatorikwissen ist, deshalb rechne ich die gesuchten Anzahlen jetzt mal unter der Annahme aus, dass alle Zahlen unterscheidbar sind. Also auch z.B. die 3 einsen untereinander (man könnte sie als [mm] 1_1, 1_2, 1_3 [/mm] schreiben).
Dann gibt es einfach 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 Möglichkeiten das Feld irgendwie zu belegen. Nun musst man schauen, welche Belegungen davon günstig sind, also bei welchen das 1., 5., 9. Feld eine 1 enthält. Hier sieht man auch vielleicht, dass es egal ist, welche 3 Felder man sich rauspickt. Auch wenn du einsen in Feld 1, 2 und 3 haben willst, oder 4, 8, und 9, dann geht die Rechnung immer analog.
Nun zur Anzahl der günstigen Belegungen: Zuerst einmal packen wir die 3 einsen in die Diagonalenfelder. Das geht auf 3!=3*2*1=6 Möglichkeiten.
Die restliche Felder können besetzt werden, wie man will. Das geht auf 6! Möglichkeiten.
Dann erhält man also [mm] p=\frac{6*6!}{9!}=\frac{6}{7*8*9}=\frac{1}{84}, [/mm] wie du auch schon selber ausgerechnet hast. Also ist es egal, ob die 1. Reihe mit einsen befüllt werden soll, oder die Diagonale, oder sonst irgendwelche 3 Felder.
|
|
|
|
