Diagonalgestalt, Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Sa 01.09.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Sei s die symmetrische Bilinearform auf dem [mm] R^3, [/mm] die gegeben ist durch die Matrix
[mm] \pmat{3&-2&0\\-2&2&-2\\0&-2&1}. [/mm] Bestimme eine Basis A des [mm] R^3, [/mm] so daß [mm] M_A(s) [/mm] Diagonalgestalt hat und eine weitere Basis B, so daß [mm] M_B(s)=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1} [/mm] |
Hoi.Ich habe hier die Lösung,bei der noch einige Fragen auftreten.
charakteristische Polynom P(t) = -(t-2)(t-5)(t+1)
Eigenwerte von A sind 2,5 und -1. Es gilt
Eig(A;2) = [mm] (2,1,-2)^t [/mm]
Eig(A;5) = [mm] (2,-2,1)^t
[/mm]
Eig(A;-1) = [mm] (1,2,2)^t
[/mm]
und die Basis A ist durch die drei Vektoren
[mm] w_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] (2,1,-2)
[mm] w_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] (2,-2,1)
[mm] w_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] (1,2,2)
Hier meine erste Frage. Muss da nicht auch überall das hoch t für transponiert stehen? Oder bedeutet das beim Eigenraum doch etwas anderes? ich dachte [mm] (1,2,2)^t [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\2}. [/mm] Dann müsste es bei [mm] w_1 [/mm] etc ja auch so heißen?
Die zweite Basis B ist gegeben durch B= [mm] (w_1', w_2', w_3') [/mm] , wobei
[mm] w_1' [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} w_1
[/mm]
[mm] w_2' [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{5}} w_2
[/mm]
[mm] w_3' [/mm] = [mm] w_3
[/mm]
Wie kommt man jetzt auch die [mm] w_i'? w_3 [/mm] kann man definieren. Aber [mm] w_1'? [/mm] Ich dachte nach Gram Schmidt müsste man [mm] w_1' [/mm] = [mm] \frac{w_1}{||w_1||} [/mm] rechnen? Aber [mm] ||w_i|| [/mm] = 3 mit i=1,2,3 Dann stimmt das so schon mal nicht. NAch gram schmidt hätte ich eher versuch [mm] w_1 [/mm] = [mm] \frac{w_1'}{||w_1'||} [/mm] zu berechnen, aber über die rechte Seite weiß ich gar nichts.
Wie kommt man auf die [mm] w_i'?
[/mm]
Gruß
Wehm
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Sa 01.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie sieht dein Diagonalmatrix denn in den ersten orthonormalen Basisvektoren aus? die sind ja wohl mit Gram Schmidt hergestellt.
Und was steht jetzt auf den Diagonalen?
Aber du willst in Aufgabe b) da ja Einsen haben. Dann kann die Basis doch nicht mehr "ortho" sein, sondern nur noch normal sein.
Dass bei den w das [mm] hoch^t [/mm] fehlt ist sicher nur en Flüchtigkeitsfehler, wenns klar ist, was gemeint ist lassen viele Leute das weg.
Gruss leduart
|
|
|
|
