Diagonalisierbar < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 23.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Sei die Matrix [mm] A_d=\pmat{ 1-d & d & 0 & 0\\ 1-2d & 2 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &d\\ 0 & 0 & d & 1 } [/mm] in [mm] M(4,\IR) [/mm] gegeben. Für welche Werte des Parameters d [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] A_d [/mm] diagonalisierbar? |
Hallo,
zunächst habe ich die Eigenwerte der Matrix bestimmt:
Es sind [mm] 1\pm [/mm] d und [mm] -\bruch{d-3}{2}\pm 0,5*\sqrt{-7*d^2+6d+1}. [/mm] Da die Wurzel nicht negativ sein darf, kommen für d nur Werte zwischen -1/7 und 1 in Frage. Nun müsste ich zeigen, dass algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmt, denn nur dann ist die Matrix für das entsprechende d diagonalisierbar. Mein Rechenweg kommt mir etwas umständlich vor, denn ich kann ja nicht für jedes reelle d zwischen -1/7 und 1 die Vielfachheiten überprüfen.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Katrin
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Hallo katrin10,
> Sei die Matrix [mm]A_d=\pmat{ 1-d & d & 0 & 0\\ 1-2d & 2 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &d\\ 0 & 0 & d & 1 }[/mm]
> in [mm]M(4,\IR)[/mm] gegeben. Für welche Werte des Parameters d [mm]\in \IR[/mm]
> ist [mm]A_d[/mm] diagonalisierbar?
> Hallo,
> zunächst habe ich die Eigenwerte der Matrix bestimmt:
> Es sind [mm]1\pm[/mm] d und [mm]-\bruch{d-3}{2}\pm 0,5*\sqrt{-7*d^2+6d+1}.[/mm]
> Da die Wurzel nicht negativ sein darf, kommen für d nur
> Werte zwischen -1/7 und 1 in Frage. Nun müsste ich zeigen,
> dass algebraische und geometrische Vielfachheit
> übereinstimmt, denn nur dann ist die Matrix für das
> entsprechende d diagonalisierbar. Mein Rechenweg kommt mir
> etwas umständlich vor, denn ich kann ja nicht für jedes
> reelle d zwischen -1/7 und 1 die Vielfachheiten
> überprüfen.
> Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Interessant sind hier doch nur die Fälle,
wann es mehrfache Eigenwerte gibt.
Bestimme zunächst diese Fälle.
Setze dazu je zwei der Eigenwerte gleich
und bestimme deren Lösungen.
> Katrin
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Di 24.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank.
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