Diagonalisierbar Permutation < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $\pi$ [/mm] Permutation von [mm] $\{1,2,...,n\}$ [/mm] und [mm] $A(\pi)=(a_{kl})_{kl}$
[/mm]
die zugehörige Permutationsmatrix mit komplexen Koeffizienten und
[mm] $a_{\pi(l),l}=1$ [/mm] für [mm] $1\leq k\leq [/mm] n$ und [mm] $a_{kl}=0$ sonst.\\
[/mm]
Behauptung: [mm] $A(\pi)$ [/mm] ist diagonalisierbar. Bestimme die Eigenwerte
und jeweils ihre [mm] Vielfachheiten.\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Dazu betrachte zunächst die zyklische Permutation [mm] $\eta$ [/mm] mit [mm] $\eta(k)=k+1$
[/mm]
für [mm] $1\leq [/mm] k< n$ und überlege, wie man den allgemeinen Fall auf
diesen Spezialfall zurückführen kann. |
Hallo,
bei Permutationen bekomme ich immer Angstzustände, weil ich mich an viele Aufgaben erinnere, bei denen ich nicht sehr erfolgreich war.
Ich habe mir aber bereits den Spezialfall genauer angeschaut. Betrachte ich hierfür die Permutationsmatrix [mm] A(\eta), [/mm] so komme ich zu:
[mm] $A(\eta)=\begin{pmatrix}0 & & & & 1\\
1 & & & 0\\
& 1\\
& & \ddots\\
& 0 & & 1 & 0\end{pmatrix}$.
[/mm]
Es ist doch richtig, dass [mm] \eta(n)=1 [/mm] ist, oder? In der Aufgabe war es ja nur für [mm] 1\leq [/mm] k<n mit [mm] \eta(k)=k+1 [/mm] definiert?
Das charakteristische Polynom müsste sein: [mm] \chi_A=\lambda^n-1. [/mm]
Jetzt habe ich ja komplexe Eigenwerte, weil das charakteristische Polynom auf jeden Fall in Linearfaktoren zerfällt. Wie ich die genau berechne, weiß ich nicht.
Also mal abgesehen davon, dass mir natürlich klar ist, dass ich [mm] \chi_A=0 [/mm] setzen muss.
Wie zeige ich also weiterhin, dass [mm] A(\eta) [/mm] diagonalisierbar ist, bzw wie berechne ich die komplexen Eigenwerte?
Normalerweise ist [mm] A(\pi) [/mm] dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
Ich hoffe jetzt mal ganz stark, dass ich n-Eigenwerte erhalte, womit die Diagonalisierbarkeit klar wäre.
Nur eben wie ich genau die komplexen Eigenwerte ausrechne weiß ich nicht, und außerdem ist mir noch nicht bewusst, wie ich den allgemeinen Fall auf den Spezialfall zurückführen kann.
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]\pi[/mm] Permutation von [mm]\{1,2,...,n\}[/mm] und
> [mm]A(\pi)=(a_{kl})_{kl}[/mm]
> die zugehörige Permutationsmatrix mit komplexen
> Koeffizienten und
> [mm]a_{\pi(l),l}=1[/mm] für [mm]1\leq k\leq n[/mm] und [mm]a_{kl}=0[/mm] [mm]sonst.\\[/mm]
> Behauptung: [mm]A(\pi)[/mm] ist diagonalisierbar. Bestimme die
> Eigenwerte
> und jeweils ihre [mm]Vielfachheiten.\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> Dazu betrachte zunächst die zyklische Permutation [mm]\eta[/mm] mit
> [mm]\eta(k)=k+1[/mm]
> für [mm]1\leq k< n[/mm] und überlege, wie man den allgemeinen Fall
> auf
> diesen Spezialfall zurückführen kann.
> Hallo,
>
> bei Permutationen bekomme ich immer Angstzustände, weil ich
> mich an viele Aufgaben erinnere, bei denen ich nicht sehr
> erfolgreich war.
>
> Ich habe mir aber bereits den Spezialfall genauer
> angeschaut. Betrachte ich hierfür die Permutationsmatrix
> [mm]A(\eta),[/mm] so komme ich zu:
>
> [mm]$A(\eta)=\begin{pmatrix}0 & & & & 1\\
1 & & & 0\\
& 1\\
& & \ddots\\
& 0 & & 1 & 0\end{pmatrix}$.[/mm]
>
> Es ist doch richtig, dass [mm]\eta(n)=1[/mm] ist, oder? In der
> Aufgabe war es ja nur für [mm]1\leq[/mm] k<n mit [mm]\eta(k)=k+1[/mm]
> definiert?
Ja... es folgt ja daraus dass [mm] $\eta$ [/mm] eine Bijektion ist, also bleibt nur noch [mm] $\eta(n)=1$ [/mm] "übrig".
> Das charakteristische Polynom müsste sein:
> [mm]\chi_A=\lambda^n-1.[/mm]
Hmm... Ist das nicht abhängig von n? Ist es nicht [mm] $\pm\lambda^n\pm1$? [/mm] Sei es drum - in jedem Fall hat das charakteristische Polynom genau $n$ verschiedene (komplexe) Nullstellen, nämlich [mm] e^{i2k\pi/n} [/mm] bzw. [mm] e^{i(2k+1)\pi/n} [/mm] für k=1,...,n. Also gibt es eine Basis aus Eigenvektoren.
> außerdem ist mir noch nicht bewusst,
> wie ich den allgemeinen Fall auf den Spezialfall
> zurückführen kann.
Mir auch nicht... aber is ja auch schon spät 
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 24.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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