Diagonalisierbare Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A= [mm] \pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 } [/mm] aus M(3*3, [mm] \IR [/mm] )
Ist A diagonalisierbar? Falls ja, gebe man eine invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D an mit [mm] D=P^{-1}AP [/mm] |
Glaube inzwischen herausgefunden zu haben, dass A diagonalisierbar, also einer Diagonalmatrix ähnlich ist. Das heißt doch, dass es eine Basis gibt, so dass die Abbildungsmatrix bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix ist...richtig??
Habe einfach mal das charakteristische Poynom von A ( [mm] x^{3}-5x^{2}+8x-4 [/mm] ) und die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] 1=1 [mm] \lambda [/mm] 2=2 und [mm] \lambda [/mm] 3=2 berechnet...weiß aber jetzt nicht, wie ich auf die gesuchten Matrizen P und D komme!
Wäre echt super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Vielen Dank schonmal im Voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei A= [mm]\pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 }[/mm]
> aus M(3*3, [mm]\IR[/mm] )
> Ist A diagonalisierbar? Falls ja, gebe man eine
> invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D an mit
> [mm]D=P^{-1}AP[/mm]
> Glaube inzwischen herausgefunden zu haben, dass A
> diagonalisierbar, also einer Diagonalmatrix ähnlich ist.
Hallo,
ja, Du hast hier eine 3x3-Matrix mit drei Eigenwerten.
Nun mußt Du die dazugehörigen Eigenräume bzw. deren Basen ausrechnen.
Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind ja grundsätzlich linear unabhängig.
Wesentlich für die Diagonalisierbarkeit ist in Deiner Aufgabe, ob der Eigenraum zum zweifachen Eigenwert 2 die Dimension 2 hat. Wenn ja, hast Du insgesamt drei paarweise linear unabhängige Eigenvektoren, die beiden zu zwei und den zu 1.
Somit hättest Du eine Basis aus Eigenvektoren und die Matrix wäre diagonalisierbar.
> Das heißt doch, dass es eine Basis gibt, so dass die
> Abbildungsmatrix bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix
> ist...richtig??
Ja.
Und diese Basis besteht aus Eigenvektoren, von diesen benötigst Du nun pro Eigenwert einen.
Du mußt sie also noch ausrechnen.
Die Matrix D ist die gesuchte Diagonalmatrix. Sie beschreibt die Abbildung bzgl der Basis aus Eigenvektoren, auf der Diagonalen befinden sich die Eigenwerte.
Die gesuchten Matrizen P und [mm] P^{-1} [/mm] sind die Transformationsmatrizen.
P hat in den Spalten die Koordinaten der Eigenvektoren (bzgl. der Standardbasis).
Ob Du allles richtig gemacht hast, siehst Du, wenn Du nach dem Multiplizieren wirklich die Diagonalmatrix dastehen hast.
Gruß v. Angela
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Wow, das ging ja schnell... 
Es kommt hin! Dankeschön!
Die Aufgabe hat noch einen zweiten Teil:
...Gibt es eine invertierbare Matrix B, so dass [mm] B^{-1}AB=C, [/mm] wobei C= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 5 } [/mm] ?
Auch hier habe ich festgestellt, dass die Matrizen ähnlich sind, es also so ein B geben muss.
Ist das die Antwort, oder muss ich B noch berechnen? Wenn ja, dann weiß ich leider wiedermal nicht wie...
LG Alex
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> Auch hier habe ich festgestellt, dass die Matrizen ähnlich
> sind, es also so ein B geben muss.
Hallo,
kannst Du mal sagen, wie Du die Ähnlichkeit festgestellt hast?
Gruß v. Angela
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A und C haben das gleiche charakteristische Polynom, also auch die gleiche Determinante.
Folgt daraus nicht, dass sie ähnlich sind?!?
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> A und C haben das gleiche charakteristische Polynom, also
> auch die gleiche Determinante.
> Folgt daraus nicht, dass sie ähnlich sind?!?
Hallo,
nein.
Wenn sie ähnlich sind, haben sie dasselbe charakteristische Polynom, aber das Umgekehrte ist nicht richtig.
Wenn Du zwei Matrizen findest, deren charakteristisches Polynom verschieden ist, sind sie unter Garantie nicht ähnlich.
Aber dasselbe charakteristische Polynom reicht nicht für Ähnlichkeit.
Du kannst ja mal versuchen, Dir ein Beispiel zu basteln.
"Ähnlichkeit" bedeutet ja, daß die beiden Matrizen darstellende Matrizen derselben Abbildung sind, bloß eben bzgl. verschiedener Basen.
Wären A und C ähnlich, müßtest Du C mit einer Matrix Q so diagonalisieren können, daß
[mm] P^{-1}AP=D=Q^{-1}CQ.
[/mm]
Du solltest also mal nachschauen, ob es zu C eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
Gruß v. Angela
P.S.. Ich war in meinem ersten Post wg. eines Rechenfehlers davon ausgegangen, daß Deine Matrix A drei verschiedene (!) Eigenwerte hat, was ja gar nicht stimmt.
Daher paßt meine Antwort nicht so recht, ich werde sie gleich bearbeiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Do 03.04.2008 | | Autor: | reginalex |
Ups...ich dachte, dass das in beide Richtungen gilt..
Die Eigenwerte von C sind ja auch 1, 2 und 2.
Die daraus resultierenden Eigenvektoren sind [mm] \vektor{4 \\ -4 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1}.
[/mm]
Da C den Rang 3 hat können die beiden Eigenvektoren keine Basis bilden und C ist nicht diagonalisierbar...also auch nicht ähnlich zu A.
Alles richtig so?!?
Super, damit müsste die Aufgabe ja erledigt sein!
Vielen Dank nochmal, für die schnellen Antworten!
LG Alex
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> Die Eigenwerte von C sind ja auch 1, 2 und 2.
> Die daraus resultierenden Eigenvektoren sind [mm]\vektor{4 \\ -4 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1}.[/mm]
Hallo,
ich finde jetzt meinen Zettel nicht mehr, auf dem ich das gestern gerechnet hatte -
wesentlich ist, daß es nur zwei Eigenvektoren gibt.
> Da C den Rang 3 hat
Nein, mit dem Rang der Matrix hat das weniger zu tun.
Es ist C eine 3x3-Matrix, beschreibt also einen Endomorphismus von [mm] \IR^3\to \IR^3.
[/mm]
Und weil der [mm] \IR^3 [/mm] dreidimensional ist, können Deine beiden Vektoren keine Basis davon sein.
> können die beiden Eigenvektoren keine
> Basis bilden und C ist nicht diagonalisierbar
Genau.
> ...also auch
> nicht ähnlich zu A.
Ja. Denn sonst könnte man sie auf dieselbe Diagonalmatrix bringen.
Gruß v. Angela
P.S.: Stell Folgefragen zu Aufgaben ruhig als "Frage", also rotes Kästchen.
Das wird dann schneller gesehen, und es kümmern sich auch Leute darum, die bisher am Thread nicht beteiligt waren. das für die Zukunft, fals Du uns noch öfter besuchen wirst.
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