Diagonalisierbare Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich würd gern wissen, wie ich rauskriege, ob eine Matrix A diagonalisierbar ist.
Also wenn eine Matrix A diagonalisierbar ist, dann ist sie ja ähnlich zu einer Diagonalmatrix D.
Also muss ja diese Ähnlichkeitsgleichung [mm] M_1=S*M_2*S^{-1} [/mm] für eine invertierbare Matrix S gelten.
Nun, zum einen weiß ich nicht, wo ich was einsetzen muss.
Wenn A zu D ähnlich sein soll, muss ich dann in der Ähnlichkeitsgleichung A für [mm] M_1 [/mm] einsetzen oder für [mm] M_2 [/mm] ?
Und wie geht es dann weiter?
Das einzige, was man doch konkret gegeben hat, ist A.
D, S, und damit [mm] S^{-1} [/mm] hab ich ja nur allgemein.
Wie kann ich nun ein S finden, so dass A ähnlich zu einer Diagonalmatrix, und somit diagonalisierbar ist?
LG Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo zusammen!
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> Ich würd gern wissen, wie ich rauskriege, ob eine Matrix A
> diagonalisierbar ist.
>
> Also wenn eine Matrix A diagonalisierbar ist, dann ist sie
> ja ähnlich zu einer Diagonalmatrix D.
>
> Also muss ja diese Ähnlichkeitsgleichung [mm]M_1=S*M_2*S^{-1}[/mm]
> für eine invertierbare Matrix S gelten.
Konsistenter: [mm] $A=SDS^{-1}$ [/mm] bzw. [mm] $D=S^{-1}AS$
[/mm]
>
> Nun, zum einen weiß ich nicht, wo ich was einsetzen muss.
>
> Wenn A zu D ähnlich sein soll, muss ich dann in der
> Ähnlichkeitsgleichung A für [mm]M_1[/mm] einsetzen oder für [mm]M_2[/mm]
> ?
Berechne die Eigenwerte der Matrix A und die zugehörigen Eingenräume.
Picke dir jeweils einen Eigenvektor heraus und stopfe ihn als Spalte in die transformierende Matrix S (in der obigen Darstellung)
Die Diagonalmatrix D hat die Eigenwerte von A auf der Diagonalen.
Beachte, dass nicht jede Matrix A diagonalisierbar ist.
Ein Kriterium ist etwa:
Eine [mm] $n\times [/mm] n$ -Matrix A ist diagonalisierbar, wenn für jeden Eigenwert gilt: algebraische Vielfachheit (=Vielfachheit als NST im charakt. Polynom) ist gleich der geometrischen Vielfachheit (=Dimension des zugeh. Eigenraumes ...)
>
> Und wie geht es dann weiter?
>
> Das einzige, was man doch konkret gegeben hat, ist A.
>
> D, S, und damit [mm]S^{-1}[/mm] hab ich ja nur allgemein.
>
> Wie kann ich nun ein S finden, so dass A ähnlich zu einer
> Diagonalmatrix, und somit diagonalisierbar ist?
S.o., beginne damit, die Eigenwerte von A zu bestimmen ...
>
> LG Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
> > Also muss ja diese Ähnlichkeitsgleichung [mm]M_1=S*M_2*S^{-1}[/mm]
> > für eine invertierbare Matrix S gelten.
>
> Konsistenter: [mm]A=SDS^{-1}[/mm] bzw. [mm]D=S^{-1}AS[/mm]
>
>
> > Nun, zum einen weiß ich nicht, wo ich was einsetzen muss.
> >
> > Wenn A zu D ähnlich sein soll, muss ich dann in der
> > Ähnlichkeitsgleichung A für [mm]M_1[/mm] einsetzen oder für [mm]M_2[/mm]
> > ?
Und warum muss es [mm]A=SDS^{-1}[/mm] bzw. [mm]D=S^{-1}AS[/mm] heißen und nicht [mm]A=S^{-1}DS[/mm] bzw. [mm]D=SAS^{-1}[/mm]?
Warum muss die Sortierung der Matrizen gerade so rum sein?
> Berechne die Eigenwerte der Matrix A und die zugehörigen
> Eingenräume.
>
> Picke dir jeweils einen Eigenvektor heraus und stopfe ihn
> als Spalte in die transformierende Matrix S (in der obigen
> Darstellung)
>
> Die Diagonalmatrix D hat die Eigenwerte von A auf der
> Diagonalen.
Hmm, und voher weiß ich, dass in die Matrix S Eigenvektoren kommen und in die Diagonalmatrix die Eigenwerte?
Es gibt doch hundert Millionen Diagonalmatrizen, kann nicht auch eine davon das D sein und die transformierende Matrix S ganz anders aussehen?
LG Nadine
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Hallo,
> > > Also muss ja diese Ähnlichkeitsgleichung [mm]M_1=S*M_2*S^{-1}[/mm]
> > > für eine invertierbare Matrix S gelten.
> >
> > Konsistenter: [mm]A=SDS^{-1}[/mm] bzw. [mm]D=S^{-1}AS[/mm]
> >
> >
> > > Nun, zum einen weiß ich nicht, wo ich was einsetzen muss.
> > >
> > > Wenn A zu D ähnlich sein soll, muss ich dann in der
> > > Ähnlichkeitsgleichung A für [mm]M_1[/mm] einsetzen oder für [mm]M_2[/mm]
> > > ?
>
> Und warum muss es [mm]A=SDS^{-1}[/mm] bzw. [mm]D=S^{-1}AS[/mm] heißen und
> nicht [mm]A=S^{-1}DS[/mm] bzw. [mm]D=SAS^{-1}[/mm]?
>
> Warum muss die Sortierung der Matrizen gerade so rum sein?
Das ist egal, ob das nun in der einen oder in der anderen Variante geschrieben wird.
schachuzipus wollte vielleicht nur darauf anspielen, dass du in beiden Transformationsgleichungen A = ... und D = ... dieselbe Reihenfolge der S benutzt hast (?)
Du musst eben nur wissen, welches S jetzt das ist, wo deine Eigenvektoren reinkommen.
> > Berechne die Eigenwerte der Matrix A und die zugehörigen
> > Eingenräume.
> >
> > Picke dir jeweils einen Eigenvektor heraus und stopfe ihn
> > als Spalte in die transformierende Matrix S (in der obigen
> > Darstellung)
> >
> > Die Diagonalmatrix D hat die Eigenwerte von A auf der
> > Diagonalen.
>
> Hmm, und voher weiß ich, dass in die Matrix S
> Eigenvektoren kommen und in die Diagonalmatrix die
> Eigenwerte?
Das ergibt sich, wenn du die Vorlesung Lineare Algebra hörst, und die Beweise anschaust.
Es ist so: S (Die Transformationsmatrix) kann durchaus verschieden aussehen, und auch für die Diagonalmatrix gibt es mehrere Möglichkeiten.
Allerdings: In S stehen immer in den Spalten Eigenvektoren, und in D stehen auf der Diagonalen immer Eigenwerte. Nur die Reihenfolge ist variabel.
Es gibt keine Möglichkeit, eine Matrix A in eine Diagonalmatrix D zu überführen, die nicht aus Eigenwerten besteht und für die die Gleichung A = [mm] SDS^{-1} [/mm] gilt (mit S beliebig).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Stefan!
> Das ergibt sich, wenn du die Vorlesung Lineare Algebra
> hörst, und die Beweise anschaust.
> Es ist so: S (Die Transformationsmatrix) kann durchaus
> verschieden aussehen, und auch für die Diagonalmatrix gibt
> es mehrere Möglichkeiten.
>
> Allerdings: In S stehen immer in den Spalten Eigenvektoren,
> und in D stehen auf der Diagonalen immer Eigenwerte. Nur
> die Reihenfolge ist variabel.
>
> Es gibt keine Möglichkeit, eine Matrix A in eine
> Diagonalmatrix D zu überführen, die nicht aus Eigenwerten
> besteht und für die die Gleichung A = [mm]SDS^{-1}[/mm] gilt (mit S
> beliebig).
Also ich hab jetzt nochmal in meine Unterlagen geschaut, aber irgendwie finde ich nix, was mir erklärt, warum ich in der Transformationsmatrix S Eigenvektoren und auf der Diagonalmatrix Eigenwerte brauche.
In einem meiner Bücher steht auch nur, dass für die Diagonalisierung eine Basis aus Eigenvektoren gebraucht wird, aber warum, das steht da nicht.
Also ich weiß, dass wenn ich eine Basis aus Eigenvektoren habe, dass die Matrix, die die lineare Abbildung beschreibt, eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist.
Und ich weiß, dass alle Matrizen zu einer linearen Abbildung zueinander ähnlich sind.
Wenn ich also eine lineare Abbildung habe, bei der es eine Basis aus Eigenvektoren gibt [gibt es das immer?] und damit eine Matrix mit Eigenwerten auf der Diagonalen, dann sind alle anderen Matrizen, die diese Abbildung beschreiben, ähnlich zu der Eigenwert-Diagonalmatrix.
Gut.
Aber ich sehe immer noch nicht, wenn ich allgemein die Diagonalisierung irgendeiner Matrix will, warum dann die D-Matrix auch gerade die Eigenwert-Diagonalmatrix ist, und warum auf der S-Matrix die Eigenvektoren stehen.
LG Nadine
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Hallo!
Ich verstehe dein Problem...
> Also ich hab jetzt nochmal in meine Unterlagen geschaut,
> aber irgendwie finde ich nix, was mir erklärt, warum ich
> in der Transformationsmatrix S Eigenvektoren und auf der
> Diagonalmatrix Eigenwerte brauche.
>
> In einem meiner Bücher steht auch nur, dass für die
> Diagonalisierung eine Basis aus Eigenvektoren gebraucht
> wird, aber warum, das steht da nicht.
OK.
Schau mal: Sei [mm] \phi [/mm] eine lineare Abbildung. Wir suchen eine Basis [mm] B=(v_1,...,v_n) [/mm] so, dass
[mm] M_{B}^{B}(\phi) [/mm] = [mm] \pmat{\lambda_{1} & & 0\\ & ... & \\ 0 & & \lambda_{n}}
[/mm]
eine Diagonalmatrix ist. Dann gilt aber offenbar für die Basisvektoren [mm] v_{i}:
[/mm]
[mm] $\phi(v_{i}) [/mm] = [mm] \lambda_{i}*v_{i}$ [/mm] (*)
Warum? Berechne doch einfach mal [mm] \phi(v_{i}) [/mm] mit Hilfe der Darstellungsmatrix!
Und weil eben (*) gilt, folgt dann, dass [mm] \lambda_{i} [/mm] gerade Eigenwerte und [mm] v_{i} [/mm] gerade Eigenvektoren sein müssen. Klar?
Aus dieser Tatsache folgt dann auch gleich das mit den Transformationsmatrizen...
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Di 04.05.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Stefan!
> OK.
> Schau mal: Sei [mm]\phi[/mm] eine lineare Abbildung. Wir suchen
> eine Basis [mm]B=(v_1,...,v_n)[/mm] so, dass
>
> [mm]M_{B}^{B}(\phi)[/mm] = [mm]\pmat{\lambda_{1} & & 0\\ & ... & \\ 0 & & \lambda_{n}}[/mm]
>
> eine Diagonalmatrix ist. Dann gilt aber offenbar für die
> Basisvektoren [mm]v_{i}:[/mm]
>
> [mm]\phi(v_{i}) = \lambda_{i}*v_{i}[/mm] (*)
>
> Warum? Berechne doch einfach mal [mm]\phi(v_{i})[/mm] mit Hilfe der
> Darstellungsmatrix!
> Und weil eben (*) gilt, folgt dann, dass [mm]\lambda_{i}[/mm]
> gerade Eigenwerte und [mm]v_{i}[/mm] gerade Eigenvektoren sein
> müssen. Klar?
Also heißt dass, wenn ich eine Diagonalmatrix M als darstellende Matrix einer Abbildung f will, dann gibt es für diese Matrix M nur die Möglichkeit, dass die Diagonaleinträge die Eigenwerte von f und die Basisvektoren die Eigenvektoren von f sind?
Aber ich seh immer noch nicht, was das mit der Diagonalisierbarkeit zu tun hat.
Wenn eine Matrix A diagonalisierbar sein soll, dann soll sie doch nur ähnlich zu IRGENDEINER Diagonalmatrix sein, und doch nicht nur ähnlich zu einer Diagonalmatrix, die eine lineare Abbildung beschreibt, oder nicht?
> Aus dieser Tatsache folgt dann auch gleich das mit den
> Transformationsmatrizen...
Hmm, das seh ich auch noch nicht...
LG Nadine
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> > Schau mal: Sei [mm]\phi[/mm] eine lineare Abbildung. Wir suchen
> > eine Basis [mm]B=(v_1,...,v_n)[/mm] so, dass
> >
> > [mm]M_{B}^{B}(\phi)[/mm] = [mm]\pmat{\lambda_{1} & & 0\\ & ... & \\ 0 & & \lambda_{n}}[/mm]
>
> >
> > eine Diagonalmatrix ist. Dann gilt aber offenbar für die
> > Basisvektoren [mm]v_{i}:[/mm]
> >
> > [mm]\phi(v_{i}) = \lambda_{i}*v_{i}[/mm] (*)
> >
> > Warum? Berechne doch einfach mal [mm]\phi(v_{i})[/mm] mit Hilfe der
> > Darstellungsmatrix!
> > Und weil eben (*) gilt, folgt dann, dass [mm]\lambda_{i}[/mm]
> > gerade Eigenwerte und [mm]v_{i}[/mm] gerade Eigenvektoren sein
> > müssen. Klar?
>
> Also heißt dass, wenn ich eine Diagonalmatrix M als
> darstellende Matrix einer Abbildung f will, dann gibt es
> für diese Matrix M nur die Möglichkeit, dass die
> Diagonaleinträge die Eigenwerte von f und die
> Basisvektoren die Eigenvektoren von f sind?
Hallo,
ja.
Wenn die darstellende Matrix bzgl. ein und derselben Basis in Start- und Zielraum diese Gestalt haben soll, muß es ja so sein.
> Aber ich seh immer noch nicht, was das mit der
> Diagonalisierbarkeit zu tun hat.
???
Wenn die dastellende Matrix bzgl irgendeiner Basis Diagonalgestalt (= ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix) hat, hat das ziemlich viel mit Diagonalisierbarkeit zu tun... Das ist Diagonalisierbarkeit...
> Wenn eine Matrix A diagonalisierbar sein soll, dann soll
> sie doch nur ähnlich zu IRGENDEINER Diagonalmatrix sein,
> und doch nicht nur ähnlich zu einer Diagonalmatrix, die
> eine lineare Abbildung beschreibt, oder nicht?
>
???
Jede Matrix beschreibt eine lineare Abbildung.
Ich hab' das Gefühl, daß Du irgendetwas Grundlegendes nicht verstanden hast.
Vielleicht arbeitest Du erstmal die Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen bzgl. verschiedener Basen / Basistransformationen nach?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 04.05.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Ich hab' das Gefühl, daß Du irgendetwas Grundlegendes
> nicht verstanden hast.
> Vielleicht arbeitest Du erstmal die Darstellungsmatrizen
> von linearen Abbildungen bzgl. verschiedener Basen /
> Basistransformationen nach?
Hmm, also eigentlich dachte ich schon, dass ich das verstanden habe... ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Also was ich genau nicht verstehe, ist folgendes:
Wenn ich wissen will, ob eine Matrix A diagonalisierbar ist, wenn ich also wissen will, ob sie ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix D ist, und ich dann damit die Formel
[mm] A=S^{-1}*D*S [/mm] (ist die Formel so richtig?) für invertierbares S
habe, und ich habe nur A gegeben, wie krieg ich raus, ob es ein S gibt, sodass diese Formel irgendwie gilt?
Und warum nimmt man dann als Diagonalmatrix D die Matrix mit den Eigenwerten von A? Es gibt doch hunderttausende Diagonalmatrizen...
Und woher kommen die Eigenvektoren auf der S-Matrix?
Und was würde man rausbekommen, wenn die Matrix A gar nicht diagonalisierbar ist?
LG Nadine
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> Also was ich genau nicht verstehe, ist folgendes:
>
> Wenn ich wissen will, ob eine Matrix A diagonalisierbar
> ist, wenn ich also wissen will, ob sie ähnlich ist zu
> einer Diagonalmatrix D ist, und ich dann damit die Formel
>
> [mm]A=S^{-1}*D*S[/mm] (ist die Formel so richtig?) für
> invertierbares S
>
> habe, und ich habe nur A gegeben, wie krieg ich raus, ob es
> ein S gibt, sodass diese Formel irgendwie gilt?
Hallo,
wenn die Matrix A eine [mm] nt\imes [/mm] n-Matrix ist und Du feststellst, daß sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat, dann ist die Matrix diagonalisierbar.
Es muß also eine Basis (des [mm] K^n) [/mm] geben, welche aus Eigenvektoren der Matrix A besteht.
>
> Und warum nimmt man dann als Diagonalmatrix D die Matrix
> mit den Eigenwerten von A? Es gibt doch hunderttausende
> Diagonalmatrizen...
Man nimmt die nicht - die kommt...
Wenn Du nun Deine Basis [mm] B=(b_1, ...,b_n) [/mm] aus Eigenvektoren hast, also [mm] f_A(b_i)=Ab_i=\lambda_ib_i [/mm] gilt, und Du stellst nun die Darstellungsmatrix von [mm] f_A [/mm] bzgl dieser Basis auf, so siehst Du, daß auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen müssen. Die EVen haben ja gerade die Eigenschaft, daß sie auf das (Eigenwert) [mm] \lambda_i- [/mm] fache von sich selbst abgebildet werden.
>
> Und woher kommen die Eigenvektoren auf der S-Matrix?
In Deiner Schreibweise von oben ist [mm] S^{-1} [/mm] die Basistransformationsmatrix, die Vektoren, die in Koordinaten bzgl der Eigenwerte gegeben sind, in Standardkoordinaten umwandelt.
In ihren Spalten stehen also die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl der Standardbasis.
>
> Und was würde man rausbekommen, wenn die Matrix A gar
> nicht diagonalisierbar ist?
Dann gäbe es zu wenig Eigenvektoren. Du bekämst Du keine Basis aus ihnen zusammen.
Gruß v. Angela
>
> LG Nadine
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