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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 So 27.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Man zeige, dass die [mm] \R [/mm] lin. Abb.
[mm] f:\IR^3 \to \IR^3, [/mm] (a,b,c) [mm] \mapsto [/mm] (3a+2b-c,2a+6b-2c,2c)
diagonalisierbar ist, und man konstruiere eine Basis B von [mm] \IR^3 [/mm] derart, dass die Matrix [mm] M^B_B(f) [/mm] Diagonalgestalt hat. |
Hallo,
Ich kann denke ich die Aufgabe lösen hab nur ein paar fragen zu einigen Einzelheiten!
Als erstes Sei S Standartbasis von [mm] \IR^3 [/mm] dann ist
A:= [mm] M_S^S(f) [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 6 &-2 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Zweitens Prüfe ob das charakteristische Polynom in Lin.Faktoren Zerfält
[mm] X_f(x)=der(A-xE_3)=det \pmat{ 3-x & 2 & -1 \\ 2 & 6-x &-2 \\ 0 & 0 & 2-x }=(2-x)((3-x)(6-x)-4)
[/mm]
(1) Und Hier ist auch meine erste Frage sind das nun schon lin.Faktoren? Oder muss ich das noch umformen wenn ja wie?
Jedenfals hat das ding zwei Nullstellen x=2 und x=7.
Drittens:Bestimme [mm] dimV_\lambda_i [/mm]
Falls [mm] dimV_\lambda_i [/mm] = Vielfachheit von [mm] \lambda_i \Rightarrow [/mm] f ist diagonalisierbar
(2) Das verstehe ich überhaupt nicht!?
Für [mm] \lambda [/mm] = 2 Bestimme Basis von [mm] V_2=Ker(f-2id_\IR)
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}=\pmat{ 3-2 & 2 & -1 \\ 2 & 6-2 &-2 \\ 0 & 0 & 2-2 } \vektor{a \\ b \\ c}=\vektor{a+2b-c \\ 2a+4b-2c \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Falls a=0 ist c = 2b [mm] \Rightarrow \vektor{0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Falls b=0 ist a = c [mm] \Rightarrow \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Falls c=0 ist a = -2b [mm] \Rightarrow \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
(3) Das heist aber doch dass [mm] V_2 [/mm] = [mm] \IR. [/mm] Wenn ich die selbe Rechnung für [mm] \lambda [/mm] = 7 mache erhalte ich auch ein Basisvektor. Also ist [mm] dimV_2 [/mm] = 3 und [mm] dimV_7 [/mm] = 1 musste nicht gelten [mm] dimV_2+dimV_7<= dim\IR^3 [/mm] und auch das [mm] V_2 \cap V_7={0}
[/mm]
Aslo wenn ich die 3 Vektoren als Basis B nehme erhalte ich für
[mm] M_B^B(f) [/mm] eine Diagonalmatrix also kann es ja so falsch nicht sein
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> Man zeige, dass die [mm]\R[/mm] lin. Abb.
> [mm]f:\IR^3 \to \IR^3,[/mm] (a,b,c) [mm]\mapsto[/mm] (3a+2b-c,2a+6b-2c,2c)
> diagonalisierbar ist, und man konstruiere eine Basis B von
> [mm]\IR^3[/mm] derart, dass die Matrix [mm]M^B_B(f)[/mm] Diagonalgestalt
> hat.
> Hallo,
> Ich kann denke ich die Aufgabe lösen hab nur ein paar
> fragen zu einigen Einzelheiten!
> Als erstes Sei S Standartbasis von [mm]\IR^3[/mm] dann ist
> A:= [mm]M_S^S(f)[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 6 &-2 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
Hallo,
ja, das stimmt.
>
> Zweitens Prüfe ob das charakteristische Polynom in
> Lin.Faktoren Zerfält
> [mm]X_f(x)=der(A-xE_3)=det \pmat{ 3-x & 2 & -1 \\ 2 & 6-x &-2 \\ 0 & 0 & 2-x }=(2-x)((3-x)(6-x)-4)[/mm]
>
> (1) Und Hier ist auch meine erste Frage sind das nun schon
> lin.Faktoren? Oder muss ich das noch umformen wenn ja wie?
Nein, das sind noch nicht die gewünschten Linearfaktoren. Gesucht ist eine Dastellung so: [mm] X_f(x)=(a-x)(b-x)(c-x), [/mm] also ein Produkt.
Du hast
> [mm] X_f(x)=(2-x)((3-x)(6-x)-4)
[/mm]
[mm] =(2-x)(x^2-9x+14)=(2-x)^2(7-x)
[/mm]
>
> Jedenfals hat das ding zwei Nullstellen x=2 und x=7.
Ja.
>
> Drittens:Bestimme [mm]dimV_\lambda_i[/mm]
> Falls [mm]dimV_\lambda_i[/mm] = Vielfachheit von [mm]\lambda_i \Rightarrow[/mm]
> f ist diagonalisierbar
> (2) Das verstehe ich überhaupt nicht!?
In Deinem Beispiel hat der Eigenwert 2 die algebraische Vielfachheit 2 ("hoch2"), der Eigenwert 7 die alg. Vielfachheit 1.
Die matrix ist diagonalisierbar, wenn die Dimension des Eigenraumes zu 2 2 (und nicht nur 1) ist, denn dann hat man eine Basis aus Eigenvektoren
>
> Für [mm]\lambda[/mm] = 2 Bestimme Basis von [mm]V_2=Ker(f-2id_\IR)[/mm]
Was Du nun als nächstes treibst, ist mir nicht ganz klar. Es sieht jedenfalls ziemlich falsch aus.
Was bedeutet Kern?
Du mußt den Lösungsraum von [mm] (f-2id_\IR)x=0 [/mm] bestimmen,
also den Kern von [mm] \pmat{ 3-2 & 2 & -1 \\ 2 & 6-2 &-2 \\ 0 & 0 & 2-2 },
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-2 \\ 0 & 0 & 0 }x=0,
[/mm]
entsprechend für den anderen Eigenwert.
Die Basisvektoren der beiden Eigenräume bilden zusammengenommen eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] und wenn Du bzgl dieser die darstellende Matrix aufstellst, ist sie diagonal.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 So 27.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
Hi
Alos die erste Frage hat sich schon von selbst gelöst.
und bei der Dritten hatte ich völlig falsch die die Basis bestimmt.
Kern von [mm] \pmat{ 3-2 & 2 & -1 \\ 2 & 6-2 &-2 \\ 0 & 0 & 2-2 }, [/mm]
= [mm] {(a,b,c)\in \IR | a+2b-c=0}und [/mm] die Basis ist dann {(-2,1,0),(1,0,1)} also ist [mm] dimV_2=2 [/mm]
und dann haut glaub ich auch sonst alles hin!!!
Danke!!!
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