Diagonalisierbarkeit < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Behauptung: (i) Ist [mm] A\in M(n\times [/mm] n,K) und es gilt [mm] A^2+A+E_n=0, [/mm] dann ist [mm] A^3 [/mm] diagonalisierbar.
(ii) Hat das Minimalpolynom [mm] m_A [/mm] mehrfache Nullstellen, so ist A nicht diagonalisierbar.
(iii) Ist das charakteristische Polynom [mm] \chi_A [/mm] irreduzibel, so gilt [mm] \mu_A=\chi_A.
[/mm]
|
Hallo,
ich habe diese Aufgaben aus einem Buch mit Prüfungsaufgaben zur linearen Algebra.
Zu (i):
Da habe ich noch relativ wenig. Eine Matrix ist immer dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Aber ich glaube, man muss hier etwas abstrakter argumentieren.
Ich habe die Gleichung nach A umgestellt und erhalte [mm] A=-A^2-E_n. [/mm] Das hilft mir aber nicht.
Zu (ii):
Im Prinzip gleiches Problem wie bei (i). ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
Zu (iii):
Da habe ich einfach gesagt: Sei [mm] \chi_A [/mm] irreduzibel. Dann gibt es kein Polynom [mm] \phi\neq \chi_A, [/mm] sodass [mm] \phi [/mm] | [mm] \chi_A. [/mm] Das Minimalpolynom teilt aber das charakteristische, also [mm] m_A=\chi_A.
[/mm]
Ist allerdings sehr kurz. Kann man das so sagen oder sollte man noch etwas ergänzen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Fr 10.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Behauptung: (i) Ist [mm]A\in M(n\times[/mm] n,K) und es gilt
> [mm]A^2+A+E_n=0,[/mm] dann ist [mm]A^3[/mm] diagonalisierbar.
>
> (ii) Hat das Minimalpolynom [mm]m_A[/mm] mehrfache Nullstellen, so
> ist A nicht diagonalisierbar.
>
> (iii) Ist das charakteristische Polynom [mm]\chi_A[/mm] irreduzibel,
> so gilt [mm]\mu_A=\chi_A.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgaben aus einem Buch mit
> Prüfungsaufgaben zur linearen Algebra.
>
> Zu (i):
> Da habe ich noch relativ wenig. Eine Matrix ist immer dann
> diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren
> gibt. Aber ich glaube, man muss hier etwas abstrakter
> argumentieren.
> Ich habe die Gleichung nach A umgestellt und erhalte
> [mm]A=-A^2-E_n.[/mm] Das hilft mir aber nicht.
Vereinfache doch mal [mm] $A^3$ [/mm] unter der Bedingung [mm] $A^2 [/mm] = -A - [mm] E_n$. [/mm] Dann siehst du es sofort :)
> Zu (ii):
> Im Prinzip gleiches Problem wie bei (i). ich weiß nicht
> wie ich anfangen soll.
Nimm doch mal an, dass die Matrix diagonalisierbar ist, und zeig dass das Minimalpolynom quadratfrei ist.
Dazu vielleicht erstmal: wie sieht das Minimalpolynom einer Diagonalmatrix aus?
> Zu (iii):
> Da habe ich einfach gesagt: Sei [mm]\chi_A[/mm] irreduzibel. Dann
> gibt es kein Polynom [mm]\phi\neq \chi_A,[/mm] sodass [mm]\phi[/mm] | [mm]\chi_A.[/mm]
Doch, die konstanten Vielfachen von [mm] $\chi_A$, [/mm] und ebenso die konstanten Polynome [mm] $\neq [/mm] 0$.
Aber: das Minimalpolynom ist normiert, womit nur noch die Moeglichkeiten [mm] $\chi_A$ [/mm] und $1$ bleiben. Kann $1$ das Minimalpolynom sein?
LG Felix
|
|
|
| |
|
> > Zu (ii):
> > Im Prinzip gleiches Problem wie bei (i). ich weiß
> nicht
> > wie ich anfangen soll.
>
> Nimm doch mal an, dass die Matrix diagonalisierbar ist, und
> zeig dass das Minimalpolynom quadratfrei ist.
>
> Dazu vielleicht erstmal: wie sieht das Minimalpolynom einer
> Diagonalmatrix aus?
>
Wenn die Diagonalmatrix D die Einträge [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] auf der Diagonalen hat, dann wäre das ja sowas [mm] \mu_D=\prod_{i=1}^{n}(T-\lambda_{i}).
[/mm]
Aber jetzt könnten doch auch zwei [mm] \lambda_i [/mm] gleich sein, womit ich wieder mehrfache Nullstellen habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:42 Fr 10.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Zu (ii):
> > > Im Prinzip gleiches Problem wie bei (i). ich weiß
> > nicht
> > > wie ich anfangen soll.
> >
> > Nimm doch mal an, dass die Matrix diagonalisierbar ist, und
> > zeig dass das Minimalpolynom quadratfrei ist.
> >
> > Dazu vielleicht erstmal: wie sieht das Minimalpolynom einer
> > Diagonalmatrix aus?
> >
> Wenn die Diagonalmatrix D die Einträge
> [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] auf der Diagonalen hat, dann wäre
> das ja sowas [mm]\mu_D=\prod_{i=1}^{n}(T-\lambda_{i}).[/mm]
Das ist das charakteristische Polynom. Das Minimalpolynom ist im Allgemeinen ein Teiler davon.
> Aber jetzt könnten doch auch zwei [mm]\lambda_i[/mm] gleich sein,
> womit ich wieder mehrfache Nullstellen habe.
In charakteristischen Polynom schon. Aber auch im Minimalpolynom?
Was ist z.B. das Minimalpolynom der Einheitsmatrix der Groesse $n [mm] \times [/mm] n$? (Da sind alle Diagonaleintraege 1.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
> > Aber jetzt könnten doch auch zwei [mm]\lambda_i[/mm] gleich sein,
> > womit ich wieder mehrfache Nullstellen habe.
>
> In charakteristischen Polynom schon. Aber auch im
> Minimalpolynom?
>
> Was ist z.B. das Minimalpolynom der Einheitsmatrix der
> Groesse [mm]n \times n[/mm]? (Da sind alle Diagonaleintraege 1.)
>
> LG Felix
>
Das wäre ja [mm] m_E=T-1, [/mm] also analog für andere Diagonalmatrizen kommen im Minimalpolynom auch keine mehrfachen Nullstellen vor.
Also sowas [mm] m_D=(T-\lambda_1)...(T-\lambda_n), [/mm] mit paarweise verschiedenen [mm] \lambda_i, [/mm] i=1,...,n.
So dann haben ähnliche Matrizen das gleiche Minimalpolynom, entsprechend folgt sofort, dass das Minimalpolynom von A ebenfalls keine mehrfachen Nullstellen haben kann.
Dann mit Kontraposition: Sei A diagonalisierbar. Ang. das Minimalpolynom hat mehrfache Nullstellen. Da es gleich dem Minimalpolynom der Diagonalmatrix sein muss, folgt ein Widerspruch.
Ich gehe einfach mal davon aus, dass es so stimmt. Kann man das Ganze vllt. noch etwas mathematischer aufschreiben, also mit einigen Formeln und nicht so in Textform?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Sa 11.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Aber jetzt könnten doch auch zwei [mm]\lambda_i[/mm] gleich sein,
> > > womit ich wieder mehrfache Nullstellen habe.
> >
> > In charakteristischen Polynom schon. Aber auch im
> > Minimalpolynom?
> >
> > Was ist z.B. das Minimalpolynom der Einheitsmatrix der
> > Groesse [mm]n \times n[/mm]? (Da sind alle Diagonaleintraege 1.)
>
> Das wäre ja [mm]m_E=T-1,[/mm] also analog für andere
> Diagonalmatrizen kommen im Minimalpolynom auch keine
> mehrfachen Nullstellen vor.
Genau.
> Also sowas [mm]m_D=(T-\lambda_1)...(T-\lambda_n),[/mm] mit
> paarweise verschiedenen [mm]\lambda_i,[/mm] i=1,...,n.
Das $n$ ist sicher nicht die Groesse der Matrix? Oder betrachtest du nur Matrizen, wo alle Eigenwerte paarweise verschieden ist? Du musst dich hier schon etwas genauer ausdruecken.
> So dann haben ähnliche Matrizen das gleiche
> Minimalpolynom, entsprechend folgt sofort, dass das
> Minimalpolynom von A ebenfalls keine mehrfachen Nullstellen
> haben kann.
Ja.
> Dann mit Kontraposition: Sei A diagonalisierbar. Ang. das
> Minimalpolynom hat mehrfache Nullstellen. Da es gleich dem
> Minimalpolynom der Diagonalmatrix sein muss, folgt ein
> Widerspruch.
Das ist ein Widerspruchsbeweis, und keine Kontraposition!
> Ich gehe einfach mal davon aus, dass es so stimmt. Kann man
> das Ganze vllt. noch etwas mathematischer aufschreiben,
> also mit einigen Formeln und nicht so in Textform?
Man muss es sogar.
Fang doch mal so an: seien [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_t$ [/mm] die paarweise verschiedenen Eigenwerte der Matrix, wobei [mm] $\lambda_i$ [/mm] genau [mm] $n_i$ [/mm] mal vorkommt. Dann ist das charakteristische Polynom durch [mm] $\prod_{i=1}^t [/mm] (x - [mm] \lambda_i)^{n_i}$ [/mm] gegeben.
LG Felix
|
|
|
| |
|
So dann hier mal mein Endergebnis:
Ang. $A$ ist diagonalisierbar. Seien [mm] $\lambda_{1},...,\lambda_{t}$
[/mm]
die paarweise verschiedenen Eigenwerte der Matrix $A,$ wobei [mm] $\lambda_{i}$
[/mm]
genau [mm] $n_{i}-$mal vorkommt.\\
[/mm]
$A$ besitzt das gleiche charakteristische Polynom, wie die Diagonalmatrix,
also [mm] $\chi_{A}=\prod_{i=1}^{n}(T-\lambda_{i})^{n_{i}}$. [/mm] Das Minimalpolynom
ist das kleinste normierte Polynom, für das gilt [mm] $\mu_{A}(A)=0,$
[/mm]
also [mm] $\mu_{A}=(T-\lambda_{1})...(T-\lambda_{t}).$ [/mm] Es folgt also:
Ist $A$ diagonalisierbar, so besitzt das Minimalpolynom keine mehrfachen
Nullstellen. Die Behauptung folgt nun aber wirklich mit Kontraposition.
Ich hoffe es stimmt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> So dann hier mal mein Endergebnis:
> Ang. [mm]A[/mm] ist diagonalisierbar. Seien
> [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{t}[/mm]
> die paarweise verschiedenen Eigenwerte der Matrix [mm]A,[/mm] wobei
> [mm]\lambda_{i}[/mm]
> genau [mm]n_{i}-[/mm]mal [mm]vorkommt.\\[/mm]
> [mm]A[/mm] besitzt das gleiche charakteristische Polynom, wie die
> Diagonalmatrix,
> also [mm]\chi_{A}=\prod_{i=1}^{n}(T-\lambda_{i})^{n_{i}}[/mm]. Das
> Minimalpolynom
> ist das kleinste normierte Polynom, für das gilt
> [mm]\mu_{A}(A)=0,[/mm]
> also [mm]\mu_{A}=(T-\lambda_{1})...(T-\lambda_{t}).[/mm]
Eventuell musst du das noch etwas naeher begruenden.
> Es folgt also:
> Ist [mm]A[/mm] diagonalisierbar, so besitzt das Minimalpolynom
> keine mehrfachen
> Nullstellen.
Genau.
> Die Behauptung folgt nun aber wirklich mit
> Kontraposition.
Ja :)
LG Felix
|
|
|
|
